Mathématiques · 6ème · Géométrie : Transformations et Repérage · 3e Trimestre

Agrandissement et réduction de figures

Les élèves construisent des agrandissements et des réductions de figures et comprennent l'impact sur les longueurs et les aires.

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 3 - Espace et géométrie
• MEN: Cycle 3 - Agrandir ou réduire une figure

À propos de ce thème

L'agrandissement et la réduction de figures font partie du programme de 6ème en Éducation nationale et préparent à la notion de proportionnalité géométrique. Les élèves doivent comprendre qu'un agrandissement ou une réduction conserve la forme de la figure mais modifie ses dimensions selon un coefficient multiplicateur. Toutes les longueurs sont multipliées par le même facteur.

L'impact sur les aires est une source importante de confusion : si on double les longueurs, l'aire est multipliée par 4 (et non par 2). Ce résultat contre-intuitif nécessite une approche expérimentale pour être compris. Les périmètres, eux, suivent le même coefficient que les longueurs.

Les activités de construction (reproduire une figure en double ou en demi sur quadrillage), de mesure et de comparaison en groupe permettent aux élèves de découvrir par eux-memes la relation entre le coefficient et les mesures, ce qui ancre bien plus solidement cette compétence que l'apprentissage d'une formule.

Questions clés

1. Expliquer comment un agrandissement ou une réduction affecte les dimensions d'une figure.
2. Analyser l'impact d'un coefficient d'agrandissement sur le périmètre et l'aire.
3. Distinguer un agrandissement d'une réduction.

Objectifs d'apprentissage

• Calculer les nouvelles dimensions d'une figure après un agrandissement ou une réduction à l'aide d'un coefficient donné.
• Comparer les aires de deux figures homologues pour identifier la relation entre le carré du coefficient d'agrandissement et le rapport des aires.
• Construire un agrandissement ou une réduction d'une figure simple sur quadrillage en appliquant un coefficient spécifié.
• Identifier si une transformation géométrique représente un agrandissement ou une réduction en analysant le coefficient appliqué.

Avant de commencer

Calculer le périmètre d'une figure simple

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser le calcul du périmètre pour comprendre comment il est affecté par un changement d'échelle.

Calculer l'aire d'une figure simple (carré, rectangle)

Pourquoi : La compréhension de l'impact de l'agrandissement/réduction sur l'aire nécessite une base solide dans le calcul de l'aire.

Reconnaître et construire des figures sur quadrillage

Pourquoi : L'utilisation du quadrillage est une méthode concrète pour construire et visualiser les agrandissements et réductions.

Vocabulaire clé

Coefficient d'agrandissement/réduction	Nombre par lequel on multiplie les longueurs d'une figure pour obtenir les longueurs de la figure agrandie ou réduite. Si le coefficient est supérieur à 1, c'est un agrandissement ; s'il est inférieur à 1, c'est une réduction.
Figures homologues	Deux figures obtenues l'une de l'autre par un agrandissement ou une réduction. Leurs angles sont égaux et leurs longueurs sont proportionnelles.
Rapport des aires	Le quotient obtenu en divisant l'aire de la figure agrandie ou réduite par l'aire de la figure initiale. Il est égal au carré du coefficient d'agrandissement ou de réduction.
Transformation géométrique	Opération qui déplace, agrandit, réduit ou tourne une figure géométrique tout en conservant certaines de ses propriétés.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Si on double les longueurs, l'aire double aussi.

Ce qu'il faut enseigner à la place

C'est l'erreur la plus répandue. L'expérimentation concrète (dessiner un carré de 2 cm d'aire 4 cm², puis de 4 cm d'aire 16 cm²) montre que l'aire est multipliée par le carré du coefficient. Le travail en groupe avec tableau de mesures rend ce résultat tangible.

Idée reçue courante

L'agrandissement ne conserve pas les angles.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Certains élèves pensent que les angles changent aussi. La mesure au rapporteur des angles de la figure originale et de son agrandissement, en binôme, prouve que les angles sont conservés. C'est une propriété fondamentale que les élèves doivent vérifier expérimentalement.

Idée reçue courante

Un coefficient inférieur à 1 produit un agrandissement.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La confusion entre 'multiplier par un nombre plus petit' et 'réduire' est courante. Construire concrètement une figure avec un coefficient de 0,5, mesurer et comparer avec l'original en groupe clarifie que multiplier par un nombre entre 0 et 1 réduit la figure.

Idées d'apprentissage actif

Investigation collaborative : Le carré qui grandit

Chaque groupe dessine un carré de 2 cm, puis ses agrandissements x2, x3 et x4. Ils mesurent les périmètres et calculent les aires, puis remplissent un tableau. Le groupe doit formuler une règle reliant le coefficient aux variations de périmètre et d'aire.

25 min·Petits groupes

Atelier quadrillage : Agrandir et réduire sur grille

Les élèves reçoivent une figure simple sur petit quadrillage et doivent la reproduire en double sur grand quadrillage (agrandissement x2), puis en demi (réduction). En binôme, ils vérifient mutuellement que toutes les longueurs respectent le coefficient.

20 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: L'aire double-t-elle aussi ?

L'enseignant pose la question : 'Si on double les côtés d'un rectangle, est-ce que son aire double aussi ?' Chaque élève teste avec un exemple, puis confronte son résultat en binôme. La surprise du résultat (x4 et non x2) est partagée en classe.

15 min·Binômes

Galerie marchande: La galerie des figures semblables

Chaque groupe affiche un original et ses versions agrandies/réduites avec les mesures annotées. Les visiteurs doivent identifier le coefficient utilisé et vérifier que toutes les longueurs le respectent. Ils notent aussi l'impact observé sur le périmètre et l'aire.

25 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• Les architectes et les urbanistes utilisent des plans à différentes échelles pour représenter des bâtiments ou des villes. Ils doivent comprendre comment les dimensions sur le plan se traduisent dans la réalité, en appliquant des coefficients d'agrandissement pour passer du plan à la construction.
• Dans le domaine de la photographie et de l'infographie, les logiciels permettent de zoomer (agrandir) ou de dézoomer (réduire) des images. Les pixels qui composent l'image sont alors redimensionnés selon un facteur, impactant la perception de la taille de l'objet représenté.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Donnez aux élèves une figure simple (ex: un rectangle de 2x3 cm) et un coefficient (ex: 2). Demandez-leur de calculer les dimensions du rectangle agrandi et de calculer l'aire de la figure initiale et de la figure agrandie. Quelle relation observent-ils entre les aires et le coefficient ?

Vérification rapide

Présentez deux figures homologues sur quadrillage, l'une étant un agrandissement de l'autre. Demandez aux élèves d'identifier le coefficient d'agrandissement en comparant les longueurs correspondantes et d'expliquer leur démarche.

Question de discussion

Posez la question : 'Si on double toutes les longueurs d'un carré, est-ce que son aire double aussi ? Pourquoi ?' Encouragez les élèves à utiliser des exemples concrets sur quadrillage pour justifier leur réponse et à expliquer le rôle du coefficient.

Questions fréquentes

Quelle est la différence entre agrandissement et réduction en maths ?

Un agrandissement multiplie toutes les longueurs d'une figure par un coefficient supérieur à 1 (la figure devient plus grande). Une réduction utilise un coefficient entre 0 et 1 (la figure devient plus petite). Dans les deux cas, la forme est conservée : les angles restent identiques et les proportions sont respectées.

Comment le coefficient d'agrandissement affecte-t-il l'aire ?

L'aire est multipliée par le carré du coefficient. Si on agrandit une figure par un facteur 3, toutes les longueurs sont triplées, mais l'aire est multipliée par 9 (3²). C'est un résultat souvent surprenant que les élèves doivent vérifier par la mesure avant de l'admettre comme règle générale.

Comment construire un agrandissement sur quadrillage en 6ème ?

Sur un quadrillage, chaque segment de la figure originale est multiplié par le coefficient. Un segment de 3 carreaux avec un coefficient x2 devient 6 carreaux. Les angles sont reportés à l'identique. Les élèves vérifient leur construction en mesurant et en comparant avec la figure originale.

Pourquoi utiliser des activités de groupe pour enseigner les agrandissements ?

L'impact du coefficient sur l'aire est contre-intuitif et résiste à l'explication magistrale. L'investigation en groupe, où les élèves mesurent, remplissent des tableaux et cherchent des patterns, permet une découverte par l'expérimentation. Le débat entre pairs sur la règle trouvée consolide la compréhension.