Mathématiques · 5ème · Géométrie Plane et Raisonnement · 2e Trimestre

Hauteurs et Orthocentre

Les élèves étudient les hauteurs d'un triangle et leur point de concours, l'orthocentre.

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 4 - Espace et géométrie
• MEN: Cycle 4 - Connaître les propriétés des figures usuelles

À propos de ce thème

Les hauteurs d'un triangle et leur point de concours, l'orthocentre, constituent l'une des quatre droites remarquables au programme du cycle 4. L'élève de 5ème apprend à tracer la perpendiculaire depuis un sommet au côté opposé, ce qui mobilise à la fois la maîtrise de l'équerre et la compréhension de la perpendicularité. L'enjeu principal est de constater que les trois hauteurs se coupent toujours en un même point, quelle que soit la forme du triangle.

La position de l'orthocentre varie selon la nature du triangle : intérieur dans un triangle acutangle, confondu avec le sommet de l'angle droit dans un triangle rectangle, extérieur dans un triangle obtusangle. Cette classification permet de renforcer le vocabulaire géométrique et la rigueur du raisonnement. Les élèves manipulent des figures sur papier et en géométrie dynamique pour observer ces propriétés.

L'apprentissage actif est particulièrement adapté ici : construire, mesurer, comparer en binômes permet de dépasser la simple application d'une recette de construction et de comprendre pourquoi la concurrence est un résultat remarquable.

Questions clés

1. Pourquoi les hauteurs d'un triangle se coupent-elles en un seul point, l'orthocentre ?
2. Comment la position de l'orthocentre varie-t-elle selon le type de triangle (aigu, obtus, rectangle) ?
3. Comment construire une hauteur à l'aide d'une équerre et d'une règle ?

Objectifs d'apprentissage

• Construire les trois hauteurs d'un triangle quelconque à l'aide d'une équerre et d'une règle.
• Identifier le point d'intersection des hauteurs comme l'orthocentre d'un triangle.
• Comparer la position de l'orthocentre par rapport au triangle (intérieur, extérieur, sur un sommet) selon la nature du triangle (aigu, obtus, rectangle).
• Expliquer la propriété de concours des hauteurs d'un triangle.

Avant de commencer

Parallèles et Perpendiculaires

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser la notion de perpendicularité et savoir tracer une droite perpendiculaire à une autre droite donnée.

Vocabulaire du Triangle

Pourquoi : Une connaissance des sommets, des côtés et des angles d'un triangle est nécessaire pour comprendre la définition des hauteurs.

Utilisation de l'Équerre et de la Règle

Pourquoi : La construction des hauteurs repose sur l'utilisation correcte de ces instruments de géométrie.

Vocabulaire clé

Hauteur	Segment perpendiculaire à un côté du triangle, passant par le sommet opposé.
Orthocentre	Point d'intersection des trois hauteurs d'un triangle.
Perpendiculaire	Se dit de deux droites qui se coupent en formant un angle droit (90 degrés).
Triangle acutangle	Triangle dont les trois angles sont aigus (inférieurs à 90 degrés). L'orthocentre est à l'intérieur.
Triangle obtusangle	Triangle dont un angle est obtus (supérieur à 90 degrés). L'orthocentre est à l'extérieur.
Triangle rectangle	Triangle dont un angle est droit (90 degrés). L'orthocentre est le sommet de l'angle droit.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Confondre hauteur et médiane.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La hauteur est perpendiculaire au côté opposé, tandis que la médiane rejoint le milieu de ce côté. Faire tracer les deux sur le même triangle, en couleurs différentes, rend la distinction visible immédiatement.

Idée reçue courante

Penser que l'orthocentre est toujours à l'intérieur du triangle.

Ce qu'il faut enseigner à la place

En travaillant sur un triangle obtusangle, les élèves constatent par eux-mêmes que l'orthocentre sort du triangle. La manipulation en géométrie dynamique rend cette découverte concrète et mémorable.

Idée reçue courante

Croire que la hauteur passe toujours par le milieu du côté opposé.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Proposer un triangle scalène où la hauteur ne coupe clairement pas le côté en son milieu. Le tracé à l'équerre montre que c'est l'angle droit qui définit la hauteur, pas le milieu.

Idées d'apprentissage actif

Galerie marchande: Orthocentres en exposition

Chaque groupe construit les hauteurs d'un triangle de nature différente (acutangle, rectangle, obtusangle) sur une grande feuille. Les affiches sont exposées et les élèves circulent pour identifier la position de l'orthocentre dans chaque cas, notant leurs observations sur un tableau comparatif.

30 min·Petits groupes

Penser-Partager-Présenter: Prédire avant de tracer

Le professeur projette un triangle sans indication. Individuellement, chaque élève prédit où se trouvera l'orthocentre (intérieur, extérieur, sur un côté). En binômes, ils confrontent leurs prédictions puis tracent les hauteurs pour vérifier.

20 min·Binômes

Cercle de recherche: GeoGebra et déformation

En petits groupes, les élèves déplacent les sommets d'un triangle dans GeoGebra et observent le déplacement de l'orthocentre. Ils doivent formuler une conjecture sur le lien entre la nature du triangle et la position de l'orthocentre, puis la rédiger en langage mathématique.

35 min·Petits groupes

Enseignement par les pairs: Le guide de construction

Chaque élève rédige un mini-tutoriel illustré expliquant comment construire une hauteur avec l'équerre et la règle. Les tutoriels sont échangés et un camarade tente de suivre les instructions exactes, signalant toute étape manquante ou ambiguë.

25 min·Binômes

Liens avec le monde réel

• Dans la construction navale, la détermination de l'orthocentre peut être utile pour calculer le centre de gravité d'une voile ou d'une structure complexe, assurant ainsi la stabilité du navire.
• Les architectes et les ingénieurs utilisent des concepts géométriques similaires pour concevoir des structures stables, comme des ponts ou des toitures, où l'équilibre des forces est crucial. La position des points d'appui peut être liée à des notions d'orthocentre pour simplifier certains calculs structurels.
• En infographie et en conception graphique, la compréhension des intersections de droites et des points remarquables est fondamentale pour créer des formes géométriques précises et des compositions visuellement équilibrées.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Donnez aux élèves une feuille avec trois triangles de natures différentes (un acutangle, un obtusangle, un rectangle). Demandez-leur de tracer une hauteur dans chaque triangle et d'indiquer la position approximative de l'orthocentre par rapport à chaque triangle. Posez la question : 'Que remarquez-vous sur la position de l'orthocentre ?'

Vérification rapide

Présentez un triangle à l'écran ou sur une feuille. Demandez aux élèves de tracer les deux hauteurs restantes et d'identifier l'orthocentre. Posez la question : 'Comment s'appelle ce point particulier et quelle est sa propriété principale ?'

Question de discussion

Proposez la question : 'Pourquoi est-il important de savoir que les trois hauteurs d'un triangle se coupent toujours en un seul point ?' Guidez la discussion vers l'unicité de la définition de l'orthocentre et sa pertinence en géométrie.

Questions fréquentes

Comment construire la hauteur d'un triangle avec une équerre ?

Placez l'équerre contre le côté opposé au sommet visé, en faisant glisser l'angle droit jusqu'à ce que l'autre branche passe par le sommet. Tracez la perpendiculaire. Vérifiez que l'angle formé mesure bien 90 degrés en retournant l'équerre.

Où se trouve l'orthocentre dans un triangle obtusangle ?

L'orthocentre se situe à l'extérieur du triangle, du côté de l'angle obtus. Les droites portant les hauteurs se coupent en prolongeant les côtés au-delà du triangle. C'est une propriété que les élèves vérifient facilement avec GeoGebra.

Quelle est la différence entre orthocentre et centre de gravité ?

L'orthocentre est l'intersection des hauteurs (perpendiculaires aux côtés opposés), le centre de gravité est l'intersection des médianes (segments joignant un sommet au milieu du côté opposé). Ils ne coïncident que dans le triangle équilatéral.

Comment enseigner les hauteurs d'un triangle avec l'apprentissage actif ?

Faites construire les hauteurs sur différents types de triangles en binômes, puis organisez une mise en commun où chaque groupe présente ses observations. La confrontation des résultats provoque des débats productifs sur la position de l'orthocentre.