Mathématiques · 3ème · Calcul Littéral et Modélisation Algébrique · 1er Trimestre

Systèmes d'Équations Linéaires (Introduction)

Les élèves découvrent les systèmes de deux équations à deux inconnues et explorent des méthodes de résolution simples (substitution, combinaison).

• Programmes Officiels
• MEN: Cycle 4 - Nombres et calculs

À propos de ce thème

Les systèmes de deux équations à deux inconnues apparaissent dès qu'un problème met en jeu plusieurs grandeurs liées entre elles. Trouver deux nombres dont la somme vaut 10 et la différence vaut 4, c'est résoudre le système x + y = 10 et x - y = 4. Chaque équation prise isolément admet une infinité de solutions ; c'est leur combinaison qui isole un unique couple (7 ; 3).

Le programme de 3ème introduit deux méthodes de résolution : la substitution (exprimer une inconnue en fonction de l'autre puis remplacer) et la combinaison linéaire (additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue). Chaque méthode a ses avantages selon la structure du système. La résolution graphique complète cette approche : le couple solution correspond au point d'intersection des deux droites représentant les équations.

Les activités collaboratives sont particulièrement adaptées à ce chapitre. Comparer les méthodes en groupe permet aux élèves de découvrir que le même système peut se résoudre de plusieurs façons, ce qui renforce la compréhension des mécanismes algébriques et développe la flexibilité stratégique.

Questions clés

1. Pourquoi un système d'équations est-il nécessaire pour modéliser des situations avec plusieurs inconnues ?
2. Comparez les méthodes de substitution et de combinaison pour résoudre un système.
3. Expliquez comment la résolution graphique d'un système d'équations représente l'intersection de deux droites.

Objectifs d'apprentissage

• Identifier les inconnues et les relations linéaires dans une situation problème concrète.
• Calculer la solution d'un système de deux équations à deux inconnues par la méthode de substitution.
• Calculer la solution d'un système de deux équations à deux inconnues par la méthode de combinaison linéaire.
• Comparer l'efficacité des méthodes de substitution et de combinaison pour résoudre différents types de systèmes.
• Expliquer la signification graphique de la solution d'un système d'équations comme point d'intersection de deux droites.

Avant de commencer

Résolution d'équations du premier degré à une inconnue

Pourquoi : Les élèves doivent maîtriser la résolution d'équations simples avant d'aborder des systèmes d'équations.

Calcul littéral : simplification et développement

Pourquoi : La manipulation d'expressions littérales est essentielle pour appliquer les méthodes de substitution et de combinaison.

Repérage de points dans un plan cartésien

Pourquoi : Comprendre la représentation graphique des solutions nécessite de savoir placer des points et tracer des droites dans un repère.

Vocabulaire clé

Système d'équations linéaires	Un ensemble de deux équations ou plus qui partagent les mêmes inconnues. Dans ce chapitre, il s'agit de deux équations à deux inconnues.
Inconnue	Une variable (souvent représentée par x ou y) dont la valeur doit être déterminée pour résoudre une équation ou un système d'équations.
Méthode de substitution	Technique de résolution où l'on exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on substitue cette expression dans l'autre équation.
Méthode de combinaison linéaire	Technique de résolution où l'on additionne ou soustrait des multiples des équations pour éliminer une des inconnues.
Solution d'un système	Le couple de valeurs (x, y) qui satisfait simultanément toutes les équations du système.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Résoudre chaque équation séparément comme si elles étaient indépendantes.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Les deux équations doivent être vérifiées simultanément par le même couple de valeurs. Un système n'est pas deux exercices distincts. Modéliser avec deux balances liées par les mêmes poids aide les élèves à visualiser cette interdépendance.

Idée reçue courante

Oublier de substituer la valeur trouvée dans l'une des équations pour calculer la seconde inconnue.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Après avoir trouvé x, les élèves pensent avoir terminé et oublient de déterminer y. Imposer la vérification du couple (x ; y) dans les DEUX équations systématise cette étape et détecte les oublis. Le travail en binôme rend cette vérification croisée naturelle.

Idée reçue courante

Additionner les deux équations sans avoir vérifié que les coefficients permettent l'élimination.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Pour la méthode de combinaison, il faut parfois multiplier une ou les deux équations par un facteur avant de les additionner ou soustraire. Des exercices guidés où les élèves identifient d'abord le multiplicateur nécessaire avant tout calcul ancrent cette étape préparatoire.

Idées d'apprentissage actif

Penser-Partager-Présenter: Substitution ou Combinaison ?

Chaque élève résout un système avec les deux méthodes, puis compare avec un voisin laquelle était la plus rapide pour ce système précis. La paire formule un critère de choix (coefficients simples, variable déjà isolée) qu'elle présente à la classe.

25 min·Binômes

Cercle de recherche: Le Marché aux Fruits

Par groupes, les élèves reçoivent des bons de commande fictifs (3 pommes et 2 oranges coûtent 5,50 € ; 1 pomme et 4 oranges coûtent 6 €). Ils modélisent la situation par un système, le résolvent pour trouver le prix unitaire de chaque fruit, puis inventent de nouveaux énoncés pour un autre groupe.

45 min·Petits groupes

Galerie marchande: Résolution Graphique vs Algébrique

Des affiches présentent des systèmes résolus graphiquement (intersection de deux droites). Les élèves circulent, lisent les coordonnées du point d'intersection, puis vérifient algébriquement par substitution. Ils notent les cas où la lecture graphique manque de précision.

35 min·Classe entière

Rotation par ateliers: Les Trois Méthodes

Trois ateliers : un sur la substitution (systèmes où une variable est facilement isolable), un sur la combinaison linéaire (coefficients permettant une élimination directe), et un sur la résolution graphique avec vérification. Les élèves passent 15 minutes par atelier.

50 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• Dans le domaine de la logistique, un planificateur de transport peut utiliser des systèmes d'équations pour déterminer le nombre optimal de camions et de chauffeurs nécessaires pour livrer des marchandises dans différentes villes, en tenant compte des contraintes de capacité et de temps.
• En économie, les analystes utilisent des systèmes d'équations pour modéliser l'offre et la demande de biens. Par exemple, ils peuvent chercher le prix et la quantité d'équilibre d'un produit où la quantité demandée est égale à la quantité offerte.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Donnez aux élèves le système suivant : 2x + y = 7 et x - y = 2. Demandez-leur de trouver la solution en utilisant la méthode de leur choix et d'écrire une phrase expliquant pourquoi ils ont choisi cette méthode.

Vérification rapide

Présentez une situation simple (ex: acheter des pommes et des bananes, connaître le coût total et le nombre total d'articles). Demandez aux élèves d'écrire le système d'équations correspondant et d'identifier les inconnues.

Question de discussion

Proposez deux systèmes d'équations : un où la substitution est évidente (ex: y = 2x + 1) et un autre où la combinaison est plus directe (ex: x + y = 5, x - y = 1). Demandez aux élèves : 'Quel système préférez-vous résoudre avec la substitution et pourquoi ? Quel système préférez-vous résoudre avec la combinaison et pourquoi ?'

Questions fréquentes

Comment choisir entre la substitution et la combinaison pour résoudre un système ?

La substitution est rapide quand une variable est déjà isolée ou facilement isolable (par exemple y = 3x + 1). La combinaison est plus efficace quand les coefficients d'une inconnue sont égaux ou opposés dans les deux équations. Dans les autres cas, les deux méthodes fonctionnent mais la combinaison avec multiplication préalable est souvent plus systématique.

Que représente graphiquement la solution d'un système de deux équations ?

Chaque équation linéaire est représentée par une droite dans un repère. Le couple solution du système correspond aux coordonnées du point d'intersection de ces deux droites. Si les droites sont parallèles, le système n'a pas de solution. Si elles sont confondues, il a une infinité de solutions.

Un système de deux équations peut-il ne pas avoir de solution ?

Oui. Si les deux équations représentent des droites parallèles distinctes, elles ne se croisent jamais et le système est incompatible. Par exemple, x + y = 5 et x + y = 8 n'ont aucune solution commune. Graphiquement, on le voit immédiatement car les deux droites ont le même coefficient directeur mais des ordonnées à l'origine différentes.

Pourquoi le travail en groupe est-il adapté à l'apprentissage des systèmes d'équations ?

Les systèmes admettent plusieurs méthodes de résolution. Comparer les approches en groupe permet de comprendre pourquoi chaque méthode fonctionne et dans quel cas elle est la plus efficace. Les élèves découvrent que le même problème peut se résoudre par substitution, combinaison ou graphiquement, ce qui renforce la compréhension profonde des mécanismes algébriques.