Résolution d'Inéquations du Premier Degré

Les inéquations du premier degré demandent de visualiser des ensembles infinis de solutions plutôt qu'un unique nombre. Les activités actives transforment cette abstraction en une démarche concrète où les élèves manipulent des intervalles, dessinent des droites numériques et justifient leurs choix, ce qui rend la notion plus tangible et mémorable.

• 3ème
• Vers le Lycée : Maîtrise et Raisonnement Mathématique
• 3 activités
• 25 min–40 min

Objectifs d’apprentissage

1. Calculer l'ensemble des solutions d'une inéquation du premier degré à une inconnue.
2. Représenter graphiquement l'ensemble solution d'une inéquation sur une droite numérique.
3. Expliquer l'effet de la multiplication ou division par un nombre négatif sur le sens d'une inégalité.
4. Comparer la nature des ensembles de solutions d'une équation et d'une inéquation du premier degré.
5. Modéliser une situation concrète simple à l'aide d'une inéquation du premier degré.

Penser-Partager-Présenter

⏱ 25 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Le Piège du Signe Négatif

Les élèves résolvent -2x > 6 individuellement. Le professeur recueille les réponses (certains trouvent x > -3, d'autres x < -3). Les paires vérifient en substituant des valeurs et identifient la réponse correcte, puis formulent la règle du changement de sens.

Préparation et détails

Pourquoi une inéquation possède-t-elle souvent une infinité de solutions contrairement à une équation ?

Conseil de facilitation: Pendant 'Le Piège du Signe Négatif', insistez pour que chaque binôme teste au moins deux exemples numériques avant d'écrire la règle générale.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Cercle de recherche

⏱ 40 min·Petits groupes

Cercle de recherche: Le Choix de Forfait

Par groupes, les élèves comparent deux offres de téléphone (un forfait avec abonnement fixe, un sans abonnement mais avec un prix à la minute plus élevé). Ils écrivent l'inéquation correspondante et déterminent à partir de combien de minutes l'un devient plus avantageux que l'autre.

Préparation et détails

Expliquez l'effet de la multiplication ou de la division par un nombre négatif sur le sens d'une inéquation.

Conseil de facilitation: Lors de 'Le Choix de Forfait', circulez entre les groupes pour repérer les erreurs de représentation des crochets avant qu'elles ne s'ancrent.

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Galerie marchande

⏱ 30 min·Classe entière

Galerie marchande: Solutions sur la Droite

Des affiches présentent des inéquations résolues avec leur représentation sur une droite graduée. Certaines contiennent des erreurs (mauvais sens, borne incluse au lieu d'exclue). Les élèves circulent, identifient les erreurs et proposent la correction sur un post-it.

Préparation et détails

Distinguez la représentation graphique des solutions d'une équation de celle d'une inéquation.

Conseil de facilitation: Pendant 'Solutions sur la Droite', demandez aux élèves de comparer leur droite avec celle d'un pair avant de la coller afin de favoriser l'auto-correction.

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Enseigner ce sujet

Commencez toujours par des manipulations concrètes : faites résoudre des inéquations simples comme 2x > 6 ou -x < 3 en demandant des tests numériques immédiats. Évitez de donner la règle de changement de sens trop tôt, car elle sera mieux comprise après que les élèves aient éprouvé la nécessité de cette inversion. Utilisez systématiquement des droites numériques en parallèle des calculs algébriques pour ancrer la visualisation comme outil central.

À quoi s’attendre

Les élèves savent résoudre une inéquation en respectant les règles de transformation, représentent correctement la solution sur une droite numérique et justifient leurs étapes, notamment le changement de sens de l'inégalité. Ils expliquent aussi pourquoi une inéquation admet une infinité de solutions alors qu'une équation n'en admet souvent qu'une.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During Le Piège du Signe Négatif, watch for students who forget to reverse the inequality sign when multiplying by a negative number.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Demandez à ces élèves de tester leur inéquation transformée avec des nombres simples (par exemple, tester x = 0 dans 3x - 5 > 7 et dans -3x + 5 < -7) pour qu'ils voient la contradiction et corrigent eux-mêmes leur erreur.

Idée reçue courante

During Gallery Walk: Solutions sur la Droite, watch for students who confuse open and closed brackets in their graphical representation.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Faites-leur vérifier chaque crochet en remplaçant la borne par sa valeur dans l'inéquation originale : si l'inégalité est stricte, le crochet doit être ouvert, sinon il doit être fermé.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

After Gallery Walk: Solutions sur la Droite, donnez aux élèves l'inéquation 2x + 5 < 11. Demandez-leur de résoudre l'inéquation, de représenter la solution sur une droite numérique et d'expliquer en une phrase pourquoi le sens de l'inégalité n'a pas changé.

Vérification rapide

During Collaborative Investigation: Le Choix de Forfait, présentez deux inéquations : a) 3x > 9 et b) -2x < 6. Demandez aux élèves d'écrire la solution pour chaque inéquation et d'expliquer oralement la différence dans la démarche, en particulier concernant le signe du nombre par lequel on divise.

Question de discussion

During Think-Pair-Share: Le Piège du Signe Négatif, posez la question : 'Pourquoi dit-on qu'une équation a souvent une seule solution alors qu'une inéquation en a une infinité ?' Guidez la discussion vers la nature des ensembles de solutions (un point vs un intervalle) en utilisant les exemples résolus pendant l'activité.

Extensions et étayage

• Proposez aux élèves rapides de résoudre une inéquation à deux étapes avec un coefficient négatif, puis de créer une inéquation similaire pour un camarade.
• Pour les élèves en difficulté, fournissez des droites numériques pré-remplies avec des trous à combler, où ils ne doivent que choisir les crochets et les flèches.
• Proposez une exploration plus poussée en demandant de résoudre un système de deux inéquations et de représenter l'intersection des solutions sur une droite double.

Vocabulaire clé

Inéquation du premier degré	Une égalité mathématique contenant une inconnue (souvent x) avec la plus grande puissance de cette inconnue égale à 1, et utilisant des symboles d'inégalité (<, >, ≤, ≥).
Ensemble solution	L'ensemble de toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'inéquation vraie. Pour une inéquation du premier degré, cet ensemble est souvent un intervalle.
Droite numérique	Une ligne droite graduée sur laquelle les nombres réels sont représentés, utilisée ici pour visualiser les ensembles de solutions des inéquations.
Sens de l'inégalité	L'orientation de la relation entre deux nombres ou expressions, indiquée par les symboles <, >, ≤, ou ≥. Ce sens peut s'inverser lors de certaines opérations.