Matematik · Årskurs 7

Idéer för aktivt lärande

Linjära samband

Hur kan matematik hjälpa oss att förstå och förutsäga förändringar i vår omvärld, som kostnader eller temperaturer? I detta avsnitt utforskar vi linjära samband, ett kraftfullt verktyg för att beskriva situationer med konstant förändring.

• Skolverket Kursplaner
• Lgr22: Matematik 7-9 - Samband och förändring - Funktioner och deras egenskaper

• 15–30 min
• Par → Hela klassen
• 3 aktiviteter

Aktivitet 01

• Gemensam problemlösning
• 30 min · Par

Taxiresan

Eleverna får i uppgift att jämföra två taxibolags priser. Ett bolag har en hög startavgift men lågt kilometerpris, och det andra tvärtom. De skapar värdetabeller och ritar grafer för båda bolagen i samma koordinatsystem för att se vid vilken sträcka det ena blir billigare än det andra.

Förklara skillnaden mellan ett proportionellt samband och ett annat linjärt samband.

Handledningstips

Uppmuntra eleverna att med egna ord beskriva vad startvärdet och förändringstakten representerar i detta scenario.

Vad att leta efter

Ge eleverna en graf som visar ett linjärt samband. Be dem att med en penna markera startvärdet och med en annan färg rita en trappa som visar förändringstakten.

• Tillämpa
• Analysera
• Utvärdera
• Skapa
• Relationsförmåga
• Beslutsfattande
• Självreglering

Aktivitet 02

• Gemensam problemlösning
• 20 min · Smågrupper

Graf-memory

Skapa kort med fyra olika representationer av samma linjära samband: en beskrivning i ord, en värdetabell, en graf och en enkel formel (t.ex. "y är dubbelt så stort som x"). Eleverna ska i små grupper para ihop de fyra korten som hör ihop.

Analysera en värdetabell för att avgöra om den representerar ett linjärt samband.

Handledningstips

Börja med enbart proportionella samband och introducera sedan samband med ett startvärde för att öka svårighetsgraden.

Vad att leta efter

Eleverna får en text som beskriver ett vardagligt problem, t.ex. att hyra en cykel med en fast grundavgift och en avgift per timme. De ska skapa en värdetabell för de första fem timmarna, rita en graf och svara på frågor baserat på sina representationer.

• Tillämpa
• Analysera
• Utvärdera
• Skapa
• Relationsförmåga
• Beslutsfattande
• Självreglering

Aktivitet 03

• Gemensam problemlösning
• 15 min · Hela klassen

Mänskliga grafer

Ge klassen ett enkelt linjärt samband, t.ex. "y = x + 2". Låt eleverna en i taget vara en punkt (x, y) och ställa sig på rätt plats i ett stort koordinatsystem på golvet (markerat med tejp). När flera elever står på plats kommer den räta linjen att synliggöras.

Identifiera startvärdet och förändringstakten i en beskrivning av ett linjärt samband.

Handledningstips

Använd ett långt rep för att fysiskt dra linjen mellan punkterna och diskutera var den skulle skära y-axeln.

Vad att leta efter

Ge eleverna en checklista med påståenden som "Jag kan förklara vad ett startvärde är" och "Jag kan avgöra om en tabell visar ett linjärt samband". Eleverna skattar sin egen förmåga med en glad, neutral eller ledsen smiley.

• Tillämpa
• Analysera
• Utvärdera
• Skapa
• Relationsförmåga
• Beslutsfattande
• Självreglering

Några anteckningar om att undervisa detta avsnitt

Börja med konkreta, vardagliga exempel för att bygga en intuitiv förståelse. Använd en progression från proportionalitet (t.ex. priset på lösgodis) till andra linjära samband genom att lägga till ett startvärde (t.ex. en taxiresa med fast avgift). Visualisera sambanden genom att rita grafer för hand och med digitala verktyg. Låt eleverna arbeta i par för att diskutera och jämföra olika representationer.

Efter att ha arbetat med detta kommer eleverna att kunna känna igen ett linjärt samband i en tabell eller graf, samt beskriva det med hjälp av ett startvärde och en förändringstakt.

---

Se upp för dessa missuppfattningar

• Alla räta linjer visar en proportionalitet.

  En proportionalitet är en speciell typ av linjärt samband där den räta linjen måste gå genom origo (0,0). Om linjen skär y-axeln vid ett annat värde (t.ex. vid y=5) är det ett linjärt samband, men inte proportionellt. Det har då ett startvärde.

• Förändringstakten är samma sak som det första y-värdet i en tabell.

  Förändringstakten är hur mycket y-värdet ändras för varje steg som x-värdet ökar. Man beräknar den genom att se skillnaden mellan två y-värden och jämföra med skillnaden mellan motsvarande x-värden. Startvärdet är däremot y-värdet när x är 0.

• Om punkterna i en graf nästan ligger på en rät linje så är det ett linjärt samband.

  I matematik måste alla punkter ligga exakt på den räta linjen för att sambandet ska vara linjärt. I andra ämnen, som fysik eller biologi, kan man anpassa en rät linje till mätdata som nästan är linjär, men matematiskt krävs exakthet.

---

Metoder som används i denna översikt

• Gemensam problemlösning