Matematik · Årskurs 7

Idéer för aktivt lärande

Direkt proportionalitet och grafer

Hur kan en enkel graf avslöja vilket godis som är dyrast eller vem som springer snabbast? Vi dyker in i grafernas värld för att se hur de hjälper oss att förstå och jämföra proportionella samband.

• Skolverket Kursplaner
• Lgr22: Matematik 7-9 - Samband och förändring - Funktioner och deras egenskaper

• 20–30 min
• Par → Hela klassen
• 3 aktiviteter

Aktivitet 01

• Gemensam problemlösning
• 30 min · Par

Kilopris-racet

Eleverna får olika 'prislistor' för exempelvis godis eller frukt. De skapar värdetabeller och ritar in graferna i samma koordinatsystem för att visuellt jämföra kilopriserna genom att analysera linjernas lutning.

Förklara varför grafen till en direkt proportionalitet alltid måste gå genom origo.

Handledningstips

Uppmuntra eleverna att sätta ord på vad en brantare linje innebär i just detta sammanhang, det vill säga ett högre pris.

Vad att leta efter

Exit ticket: Visa eleverna tre grafer och be dem ringa in den som visar proportionalitet och med en mening motivera varför.

• Tillämpa
• Analysera
• Utvärdera
• Skapa
• Relationsförmåga
• Beslutsfattande
• Självreglering

Aktivitet 02

• Gemensam problemlösning
• 20 min · Smågrupper

Är det proportionellt?

Ge eleverna ett antal kort med olika grafer. Vissa är räta linjer genom origo, andra är kurvor eller räta linjer som inte går genom origo. Eleverna ska sortera korten i två högar, 'proportionellt' och 'ej proportionellt', och motivera sina val.

Analysera en graf och avgör om den representerar ett proportionellt samband.

Handledningstips

Använd mini-whiteboards för att låta grupperna snabbt visa och förklara sina resonemang för hela klassen.

Vad att leta efter

Ge eleverna en värdetabell som visar ett samband (t.ex. tid och fylld volym i en pool). Be dem rita grafen, avgöra om sambandet är proportionellt och i så fall bestämma proportionalitetskonstanten.

• Tillämpa
• Analysera
• Utvärdera
• Skapa
• Relationsförmåga
• Beslutsfattande
• Självreglering

Aktivitet 03

• Gemensam problemlösning
• 25 min · Individuellt

Bygg din egen graf

Med hjälp av ett digitalt verktyg som GeoGebra eller Desmos får eleverna utforska hur grafen till y=kx förändras när de ändrar värdet på proportionalitetskonstanten k. De kan direkt se hur lutningen påverkas.

Jämför graferna för två olika proportionella samband, till exempel olika kilopriser.

Handledningstips

Ställ undersökande frågor som: 'Hur ska du ändra k-värdet för att få en linje som är så flack som möjligt?'.

Vad att leta efter

Dela ut en checklista med påståenden som 'Jag kan förklara varför en proportionell graf måste gå genom origo' och 'Jag kan se på två grafer vilket kilopris som är högst', där eleverna skattar sin egen förmåga.

• Tillämpa
• Analysera
• Utvärdera
• Skapa
• Relationsförmåga
• Beslutsfattande
• Självreglering

Några anteckningar om att undervisa detta avsnitt

Börja med att koppla till elevernas kunskap om värdetabeller. Visa tydligt hur varje rad i tabellen blir en punkt i koordinatsystemet. Använd konkreta och relaterbara exempel, som pris för ett visst antal biobiljetter, och låt eleverna själva rita och upptäcka att punkterna bildar en rät linje. Ställ sedan den centrala frågan: 'Vad händer om man köper noll biljetter?' för att leda diskussionen mot varför linjen måste gå genom origo.

Efter detta avsnitt kommer eleverna kunna känna igen en graf för direkt proportionalitet och förklara vad dess utseende och lutning betyder i verkliga situationer.

---

Se upp för dessa missuppfattningar

• Alla räta linjer visar ett proportionellt samband.

  Endast räta linjer som går genom origo (punkten 0,0) representerar direkt proportionalitet. Om en rät linje skär y-axeln på en annan punkt innebär det att det finns ett startvärde (t.ex. en grundavgift), vilket gör att förhållandet inte är proportionellt.

• En brantare linje betyder bara att den 'går snabbare uppåt'.

  Det stämmer att den ökar snabbare, men mer matematiskt precist innebär en brantare linje en högre proportionalitetskonstant (k-värde). Det betyder att för varje steg på x-axeln, ökar y-värdet mer jämfört med en mindre brant linje.

• Om punkterna nästan ligger på en rät linje genom origo så är det proportionellt.

  För att ett samband ska vara exakt proportionellt måste alla punkter ligga exakt på en rät linje som går genom origo. I verkliga mätningar kan det finnas små mätfel, men den teoretiska modellen för proportionalitet kräver att alla punkter ligger perfekt på linjen.

---

Metoder som används i denna översikt

• Gemensam problemlösning