Wiskunde · Klas 1 VWO

Ideeën voor actief leren

Verwachtingswaarde

Actief leren werkt bij verwachtingswaarde omdat leerlingen door te doen direct ervaren hoe kansen en uitkomsten samen een gemiddelde vormen. Simulaties en zelf ontworpen spellen maken abstracte berekeningen tastbaar, wat helpt om misvattingen zoals 'de EV is de meest voorkomende uitkomst' te doorbreken.

• SLO Kerndoelen en Eindtermen
• SLO: Voortgezet - Informatieverwerking en statistiek

• 25–45 min
• Duo's → Hele klas
• 4 activiteiten

Activiteit 01

• Casusanalyse
• 30 min · Duo's

Paarwerk: Dobbelsteen-simulatie

Deel dobbelstenen en fiches uit. Leerlingen gooien 20 keer en noteren winsten op basis van spelregels, berekenen hun verwachte waarde vooraf en vergelijken met resultaten. Sluit af met discussie over afwijkingen.

Leg uit wat de verwachtingswaarde betekent in de context van kansrekening.

Facilitatietip

Bij de dobbelsteen-simulatie laat leerlingen eerst 20 worpen doen en de gemiddelde winst per worp berekenen, voordat ze de theoretische EV afleiden.

Waar je op moet letten

Geef leerlingen een kaart met een eenvoudig kansspel, bijvoorbeeld: 'Je gooit met een eerlijke dobbelsteen. Bij 6 win je €10, bij 1 verlies je €2, bij de andere getallen gebeurt er niets. Wat is de verwachtingswaarde van dit spel en is het eerlijk?'

• Analyseren
• Evalueren
• Creëren
• Besluitvorming
• Zelfmanagement

Activiteit 02

• Casusanalyse
• 45 min · Kleine groepjes

Groepswerk: Eigen kansspel ontwerpen

Groepen bedenken een eenvoudig kansspel met uitkomsten en kansen. Ze berekenen de verwachtingswaarde en presenteren of het eerlijk is. Andere groepen testen het spel kort.

Analyseer hoe de verwachtingswaarde kan helpen bij het nemen van beslissingen.

Facilitatietip

Geef bij het ontwerpen van een kansspel duidelijke grenzen voor uitkomsten en kansen, zoals 'maximaal 3 uitkomsten' of 'kansen moeten optellen tot 1'.

Waar je op moet letten

Presenteer een scenario met twee opties, bijvoorbeeld: 'Optie A: 50% kans op €10 winst, 50% kans op €2 verlies. Optie B: 70% kans op €5 winst, 30% kans op €1 verlies.' Vraag leerlingen de verwachtingswaarde van beide opties te berekenen en te beargumenteren welke optie ze zouden kiezen en waarom.

• Analyseren
• Evalueren
• Creëren
• Besluitvorming
• Zelfmanagement

Activiteit 03

• Casusanalyse
• 40 min · Hele klas

Klassenactiviteit: Loterij-simulatie

Trek lootjes met prijzen en verliezen. Elke leerling koopt een 'ticket' en registreert uitkomsten over meerdere rondes. Bereken klassenverwachtingswaarde en bespreek patronen.

Beoordeel of een kansspel eerlijk is op basis van de verwachtingswaarde.

Facilitatietip

Tijdens de loterij-simulatie loop je rond met een rekenmachine en vraag je groepen na elke ronde om hun totale winst te delen door het aantal deelnames.

Waar je op moet letten

Stel de vraag: 'Stel je voor dat je een spel ontwerpt waarbij de verwachtingswaarde precies nul is. Welke uitkomsten en kansen zou je dan kiezen, en hoe zou je dit spel aanprijzen aan vrienden?' Laat leerlingen hun ideeën delen en elkaar feedback geven op de eerlijkheid en aantrekkelijkheid van hun ontwerpen.

• Analyseren
• Evalueren
• Creëren
• Besluitvorming
• Zelfmanagement

Activiteit 04

• Casusanalyse
• 25 min · Individueel

Individueel: Besluitvormingsanalyse

Geef casussen zoals een verzekering of gokautomaat. Leerlingen berekenen EV en adviseren over deelname, met motivatie.

Leg uit wat de verwachtingswaarde betekent in de context van kansrekening.

Facilitatietip

Bij de besluitvormingsanalyse geef je leerlingen een tabel met opties en vraag je hen eerst de EV te berekenen voordat ze kiezen.

Waar je op moet letten

Geef leerlingen een kaart met een eenvoudig kansspel, bijvoorbeeld: 'Je gooit met een eerlijke dobbelsteen. Bij 6 win je €10, bij 1 verlies je €2, bij de andere getallen gebeurt er niets. Wat is de verwachtingswaarde van dit spel en is het eerlijk?'

• Analyseren
• Evalueren
• Creëren
• Besluitvorming
• Zelfmanagement

Enkele opmerkingen over deze eenheid onderwijzen

Begin met concrete voorbeelden uit de dagelijkse praktijk, zoals verzekeringen of loterijen, om het nut van verwachtingswaarde te laten zien. Vermijd direct te beginnen met formules; laat leerlingen eerst intuïtief begrijpen waarom bepaalde spellen eerlijk of oneerlijk zijn. Gebruik herhaalde simulaties om het idee van lange-termijn gemiddelden te versterken, omdat onderzoek laat zien dat leerlingen vaak denken dat toeval 'rechtvaardig' moet zijn in korte reeksen.

Succesvolle leerlingen herkennen verwachtingswaarde als een gewogen gemiddelde en kunnen deze correct berekenen in realistische contexten. Ze leggen uit waarom korte reeksen afwijken van de EV en passen dit toe bij het ontwerpen en evalueren van kansspellen.

---

Pas op voor deze misvattingen

• Tijdens de dobbelsteen-simulatie let je op leerlingen die denken dat de EV de uitkomst is die het vaakst voorkomt.

  Richt hun aandacht op de spreadsheet met de gesorteerde worpen en vraag: 'Wat is het gemiddelde van alle uitkomsten hier? Is dat hetzelfde als de uitkomst die je het vaakst ziet?' Laat ze de EV berekenen en vergelijken met hun data.

• Tijdens de loterij-simulatie let je op leerlingen die denken dat een spel met EV nul betekent dat je nooit verliest.

  Stel na de simulatie de vraag: 'Waarom hebben jullie ondanks een EV van nul toch verlies gehad?' Laat ze hun pechreeksen op een whiteboard zetten en vergelijken met de theoretische EV.

• Tijdens het ontwerpen van een kansspel let je op leerlingen die denken dat een hogere kans op winst altijd leidt tot een positieve EV.

  Geef ze een voorbeeld met een zeldzame hoge winst en een lage kans en vraag: 'Wat gebeurt er als we die hoge winst verlagen naar €5?' Laat ze hun ontwerp bijstellen en de nieuwe EV berekenen.

---

Methodes gebruikt in dit overzicht

• Casusanalyse