Mathématiques · Terminale · Analyse : Suites et Fonctions Continues · 1er Trimestre

Introduction à la dérivabilité et nombre dérivé

Les élèves découvrent la notion de nombre dérivé, son interprétation graphique et l'équation de la tangente.

• Programmes Officiels
• EDNAT: MAT.TLE.13

À propos de ce thème

Le nombre dérivé formalise la notion intuitive de vitesse instantanée et de pente de la tangente. En Terminale, les élèves approfondissent la définition comme limite du taux de variation (f(a+h) - f(a))/h quand h tend vers 0. Cette définition, au programme de l'Éducation nationale, constitue le fondement de tout le calcul différentiel qui suit.

L'interprétation graphique est double : le nombre dérivé f'(a) est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a, et l'équation de cette tangente s'écrit y = f'(a)(x - a) + f(a). La relation entre dérivabilité et continuité (toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse) est un point théorique important. Les activités de manipulation, où les élèves font varier h et observent la sécante tendre vers la tangente, rendent ce passage à la limite très concret et mémorable.

Questions clés

1. Comment le nombre dérivé représente-t-il la pente de la tangente?
2. Expliquer la relation entre dérivabilité et continuité.
3. Analyser les cas où une fonction n'est pas dérivable en un point.

Objectifs d'apprentissage

• Calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point donné en utilisant la définition par la limite du taux d'accroissement.
• Expliquer l'interprétation géométrique du nombre dérivé comme pente de la tangente à la courbe représentative d'une fonction.
• Déterminer l'équation de la droite tangente à une courbe en un point, connaissant la fonction et son nombre dérivé.
• Comparer la continuité et la dérivabilité d'une fonction en un point, en identifiant les cas où l'une n'implique pas l'autre.
• Analyser graphiquement les points où une fonction présente une 'pointe' ou une discontinuité, expliquant pourquoi elle n'y est pas dérivable.

Avant de commencer

Limites de fonctions

Pourquoi : La définition du nombre dérivé repose sur la notion de limite d'un taux d'accroissement.

Fonctions et représentations graphiques

Pourquoi : La compréhension de la pente d'une droite et de l'interprétation graphique est essentielle pour saisir la notion de tangente.

Taux d'accroissement et fonctions affines

Pourquoi : Le calcul du taux d'accroissement est une étape fondamentale avant d'aborder sa limite.

Vocabulaire clé

Nombre dérivé	La limite du taux d'accroissement d'une fonction en un point a, si elle existe. Il représente la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Taux d'accroissement	Le rapport (f(a+h) - f(a))/h, qui mesure la variation moyenne de la fonction f entre a et a+h.
Tangente	Droite qui 'touche' une courbe en un point et a la même pente que la courbe en ce point. Son équation est y = f'(a)(x - a) + f(a).
Dérivabilité	Propriété d'une fonction d'admettre un nombre dérivé en un point donné. Une fonction dérivable en a est nécessairement continue en a.
Continuité	Propriété d'une fonction dont la courbe représentative ne présente pas de 'saut' ou de 'rupture'. Une fonction continue en a a une limite égale à f(a) en a.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Si une fonction est continue en un point, elle y est dérivable.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La continuité est nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité. La fonction valeur absolue |x| est continue en 0 mais non dérivable (point anguleux). L'observation graphique en groupe de plusieurs exemples (|x|, racine de |x|, x^(1/3)) ancre solidement cette distinction.

Idée reçue courante

La tangente à une courbe ne la coupe jamais.

Ce qu'il faut enseigner à la place

La tangente peut recouper la courbe en d'autres points. Elle est définie localement comme la meilleure approximation linéaire au voisinage du point de tangence. Pour sin(x) en x = 0, la tangente y = x recoupe la courbe en une infinité de points. Un tracé collaboratif sur GeoGebra le montre clairement.

Idées d'apprentissage actif

Cercle de recherche: De la sécante à la tangente

Sur GeoGebra, les élèves tracent une courbe et une sécante. En faisant glisser le second point vers le premier, ils observent la sécante tendre vers la tangente. Ils notent les pentes successives et constatent la convergence vers le nombre dérivé.

25 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Calculer le nombre dérivé par la définition

Chaque élève calcule le nombre dérivé de f(x) = x³ en x = 2 par la définition (limite du taux de variation). En binôme, ils comparent leurs calculs et identifient les erreurs d'algèbre. Mise en commun pour comparer avec la formule 3x².

20 min·Binômes

Galerie marchande: Fonctions non dérivables

Affichez des graphes de fonctions présentant des points anguleux, des tangentes verticales ou des discontinuités. Les élèves identifient en chaque point si la fonction est dérivable ou non, et justifient. Annotation croisée entre groupes.

25 min·Petits groupes

Rotation par ateliers: Tangente et applications

Trois stations : (1) tracer la tangente graphiquement et lire la pente, (2) calculer f'(a) et écrire l'équation de la tangente, (3) utiliser la tangente pour une approximation locale. Les groupes tournent toutes les 10 minutes.

30 min·Petits groupes

Liens avec le monde réel

• En physique, le nombre dérivé modélise la vitesse instantanée d'un objet en mouvement. Par exemple, un ingénieur automobile utilise ce concept pour analyser l'accélération d'un véhicule à un moment précis lors d'un test.
• En économie, la dérivée permet de calculer le coût marginal ou le revenu marginal. Un analyste financier peut l'utiliser pour déterminer l'impact d'une petite variation de production sur le profit total d'une entreprise.
• En biologie, le taux de croissance d'une population à un instant t peut être représenté par le nombre dérivé de la fonction décrivant la taille de la population.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Donnez aux élèves la fonction f(x) = x² + 1 et le point a = 2. Demandez-leur de calculer le nombre dérivé f'(2) en utilisant la limite du taux d'accroissement et d'écrire l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.

Vérification rapide

Présentez graphiquement trois courbes passant par le point (1, 2). Demandez aux élèves d'identifier, pour chaque courbe, si la fonction est dérivable en x=1. Ils doivent justifier leur réponse en se basant sur la présence ou l'absence de tangente bien définie.

Question de discussion

Posez la question : 'Une fonction peut-elle être continue en un point sans y être dérivable ?' Demandez aux élèves de donner un exemple concret ou un contre-exemple, et d'expliquer pourquoi leur réponse est correcte en s'appuyant sur les définitions.

Questions fréquentes

Comment calculer le nombre dérivé en un point ?

On calcule la limite du taux de variation : f'(a) = lim(h->0) [f(a+h) - f(a)] / h. Concrètement, on développe f(a+h), on soustrait f(a), on divise par h, puis on simplifie et on passe à la limite. Si cette limite existe et est finie, le nombre dérivé vaut cette limite. Sinon, la fonction n'est pas dérivable en a.

Quelle est l'équation de la tangente à une courbe ?

L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est : y = f'(a)(x - a) + f(a). C'est la droite passant par le point (a, f(a)) avec pour pente le nombre dérivé f'(a). Cette droite est la meilleure approximation affine de f au voisinage de a.

Quelle est la différence entre dérivabilité et continuité ?

Toute fonction dérivable en un point y est continue, mais la réciproque est fausse. Une fonction peut être continue sans être dérivable : par exemple |x| en 0 (point anguleux) ou x^(2/3) en 0 (tangente verticale). La dérivabilité est une propriété plus forte qui exige que la courbe admette une tangente non verticale.

Comment rendre le concept de nombre dérivé concret avec des méthodes actives ?

Utilisez GeoGebra pour animer le passage de la sécante à la tangente : les élèves voient le second point glisser vers le point de tangence et la pente converger. Complétez par un calcul en binôme du taux de variation pour des valeurs de h de plus en plus petites. Cette double approche (visuelle et calculatoire) construit une intuition solide.