Introduction à la dérivabilité et nombre dérivé

Ce sujet demande aux élèves de passer d'une intuition visuelle (pente, vitesse) à une définition formelle par la limite. L'approche active les aide à ancrer la notion abstraite en manipulant des objets concrets comme des sécantes qui deviennent tangentes. Leur faire observer la transition sur des exemples variés évite qu'ils ne confondent la dérivée avec une simple lecture graphique.

• Terminale
• Mathématiques : Vers l\\
• 4 activités
• 20 min–30 min

Objectifs d’apprentissage

1. Calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point donné en utilisant la définition par la limite du taux d'accroissement.
2. Expliquer l'interprétation géométrique du nombre dérivé comme pente de la tangente à la courbe représentative d'une fonction.
3. Déterminer l'équation de la droite tangente à une courbe en un point, connaissant la fonction et son nombre dérivé.
4. Comparer la continuité et la dérivabilité d'une fonction en un point, en identifiant les cas où l'une n'implique pas l'autre.
5. Analyser graphiquement les points où une fonction présente une 'pointe' ou une discontinuité, expliquant pourquoi elle n'y est pas dérivable.

Cercle de recherche

⏱ 25 min·Binômes

Cercle de recherche: De la sécante à la tangente

Sur GeoGebra, les élèves tracent une courbe et une sécante. En faisant glisser le second point vers le premier, ils observent la sécante tendre vers la tangente. Ils notent les pentes successives et constatent la convergence vers le nombre dérivé.

Préparation et détails

Comment le nombre dérivé représente-t-il la pente de la tangente?

Conseil de facilitation: En Station Rotation, prévoyez des fiches réponses avec des étapes intermédiaires pour les élèves qui bloquent sur l'application de la définition.

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Penser-Partager-Présenter

⏱ 20 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Calculer le nombre dérivé par la définition

Chaque élève calcule le nombre dérivé de f(x) = x³ en x = 2 par la définition (limite du taux de variation). En binôme, ils comparent leurs calculs et identifient les erreurs d'algèbre. Mise en commun pour comparer avec la formule 3x².

Préparation et détails

Expliquer la relation entre dérivabilité et continuité.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Galerie marchande

⏱ 25 min·Petits groupes

Galerie marchande: Fonctions non dérivables

Affichez des graphes de fonctions présentant des points anguleux, des tangentes verticales ou des discontinuités. Les élèves identifient en chaque point si la fonction est dérivable ou non, et justifient. Annotation croisée entre groupes.

Préparation et détails

Analyser les cas où une fonction n'est pas dérivable en un point.

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Rotation par ateliers

⏱ 30 min·Petits groupes

Rotation par ateliers: Tangente et applications

Trois stations : (1) tracer la tangente graphiquement et lire la pente, (2) calculer f'(a) et écrire l'équation de la tangente, (3) utiliser la tangente pour une approximation locale. Les groupes tournent toutes les 10 minutes.

Préparation et détails

Comment le nombre dérivé représente-t-il la pente de la tangente?

Setup: Tables ou bureaux organisés en 4 à 6 pôles distincts dans la salle

Materials: Fiches de consignes par station, Matériel spécifique à chaque activité, Minuteur pour les rotations

• Mémoriser
• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Autogestion
• Compétences relationnelles

Enseigner ce sujet

Commencez par des exemples numériques simples pour faire émerger la notion de limite du taux de variation. Évitez de donner trop tôt la formule de dérivation usuelle pour ne pas court-circuiter la compréhension de la définition. Utilisez des logiciels de géométrie dynamique pour visualiser la convergence des sécantes vers la tangente, ce qui rend le concept moins abstrait. Insistez sur le fait que la dérivabilité est une propriété locale, liée au voisinage immédiat d'un point.

À quoi s’attendre

Les élèves expliquent pourquoi la dérivabilité exige plus que la continuité et calculent un nombre dérivé par la limite du taux de variation. Ils distinguent graphiquement les points dérivables des points anguleux ou de rebroussement. Enfin, ils relient la dérivée à l'équation de la tangente et l'appliquent dans des situations concrètes.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Pendant la Collaborative Investigation, certains élèves pourraient croire que si une fonction est continue en un point, elle y est nécessairement dérivable.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Faites observer aux élèves le cas de la fonction valeur absolue |x| en 0. Demandez-leur de tracer les sécantes gauches et droites, puis de calculer les limites des taux de variation séparément pour montrer que les demi-dérivées diffèrent.

Idée reçue courante

Pendant le Gallery Walk, des élèves pourraient affirmer que la tangente ne recoupe jamais la courbe.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Demandez aux groupes d'étudier la fonction sin(x) en x = 0 sur GeoGebra. Ils constateront que la tangente y = x recoupe la courbe en x = π, x = 2π, etc., ce qui illustre que la tangente est une approximation locale.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

Après le Think-Pair-Share, demandez aux élèves de calculer f'(1) pour f(x) = x^3 - 3x + 2 et d'écrire l'équation de la tangente au point d'abscisse 1. Recueillez leurs réponses pour identifier les erreurs récurrentes sur la simplification de la limite.

Vérification rapide

Pendant le Gallery Walk, distribuez une feuille avec trois courbes passant par (1, 2). Les élèves doivent cocher si la fonction est dérivable en x = 1 et justifier en une phrase à partir de l'observation de la tangente.

Question de discussion

Après la Station Rotation, posez la question : 'Une fonction peut-elle être continue en un point sans y être dérivable ?' Demandez aux élèves de répondre par écrit en citant un exemple vu pendant les activités et en expliquant le lien avec la définition du nombre dérivé.

Extensions et étayage

• Proposez aux élèves rapides de généraliser la méthode pour calculer f'(3) avec f(x) = x^3 - 2x + 1, puis d'expliquer pourquoi la dérivée est toujours définie pour les fonctions polynomiales.
• Pour les élèves en difficulté, fournissez une fiche avec des valeurs numériques de h à tester pour f(x) = x^2 en a = 1, en leur demandant de compléter le tableau avant de passer à l'étape algébrique.
• Offrez une exploration approfondie sur la dérivabilité des fonctions rationnelles, en demandant de déterminer pour quelles valeurs de a la fonction f(x) = (x^2 - 1)/(x - a) est dérivable en x = a.

Vocabulaire clé

Nombre dérivé	La limite du taux d'accroissement d'une fonction en un point a, si elle existe. Il représente la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Taux d'accroissement	Le rapport (f(a+h) - f(a))/h, qui mesure la variation moyenne de la fonction f entre a et a+h.
Tangente	Droite qui 'touche' une courbe en un point et a la même pente que la courbe en ce point. Son équation est y = f'(a)(x - a) + f(a).
Dérivabilité	Propriété d'une fonction d'admettre un nombre dérivé en un point donné. Une fonction dérivable en a est nécessairement continue en a.
Continuité	Propriété d'une fonction dont la courbe représentative ne présente pas de 'saut' ou de 'rupture'. Une fonction continue en a a une limite égale à f(a) en a.