Problèmes ouverts et recherche

Les problèmes ouverts transforment la classe en un espace de recherche active où l'erreur devient un outil d'apprentissage. En 6ème, ils permettent de passer d'une logique de réponse unique à une logique de questionnement, essentielle pour construire les compétences de recherche du programme.

• 6ème
• Mathématiques 6ème : Consolider et Explorer
• 3 activités
• 20 min–35 min

Objectifs d’apprentissage

1. Comparer différentes stratégies de résolution pour un problème ouvert donné.
2. Analyser l'efficacité de l'essai-erreur dans la recherche de solutions mathématiques.
3. Justifier la validité d'une solution trouvée pour un problème sans réponse unique.
4. Créer un problème ouvert simple en s'inspirant de situations concrètes.
5. Expliquer les étapes de sa démarche de recherche face à un problème complexe.

Apprentissage par projet

⏱ 35 min·Petits groupes

Rallye mathématique : Plusieurs chemins, un problème

Chaque groupe reçoit le même problème ouvert et dispose de 15 minutes pour trouver le maximum de solutions ou d'approches différentes. Chaque approche est notée sur une affiche distincte. Ensuite, les groupes font un tour de galerie pour découvrir les stratégies des autres et voter pour celle qu'ils trouvent la plus élégante.

Préparation et détails

Évaluer différentes stratégies pour aborder un problème ouvert.

Conseil de facilitation: Pendant le Rallye mathématique, circulez entre les groupes pour noter les stratégies émergentes et les partager à la classe lors de la mise en commun.

Setup: Espace de travail flexible avec accès aux ressources matérielles et numériques

Materials: Fiche de lancement avec question motrice, Cahier des charges et calendrier prévisionnel, Grille d'évaluation critériée avec jalons, Supports de présentation

• Appliquer
• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Compétences relationnelles
• Prise de décision

Penser-Partager-Présenter

⏱ 20 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Mes essais, tes essais

Chaque élève explore individuellement le problème pendant 5 minutes en notant tous ses essais, y compris ceux qui n'aboutissent pas. Il partage ensuite avec son binôme : quels essais étaient les plus fructueux ? Pourquoi certains n'ont pas fonctionné ? La paire présente sa meilleure piste à la classe.

Préparation et détails

Analyser l'importance de l'expérimentation et de l'essai-erreur.

Conseil de facilitation: Lors du Think-Pair-Share, imposez un temps strict de réflexion individuelle avant la discussion en binôme pour éviter que les élèves ne se contentent de suivre le premier avis.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Apprentissage par projet

⏱ 20 min·Classe entière

Débat mathématique : Toutes les solutions se valent-elles ?

Après une phase de recherche, l'enseignant sélectionne trois solutions différentes (correctes) et les présente anonymement. La classe débat des critères de comparaison : efficacité, élégance, facilité à vérifier, transférabilité à d'autres problèmes.

Préparation et détails

Justifier la validité de différentes solutions ou approches.

Conseil de facilitation: Pendant le Débat mathématique, notez au tableau les arguments des élèves et relancez les discussions avec des questions comme 'Pourquoi cette solution te semble-t-elle juste ?' ou 'Quelle autre approche pourrait-on tester ?'.

Setup: Espace de travail flexible avec accès aux ressources matérielles et numériques

Materials: Fiche de lancement avec question motrice, Cahier des charges et calendrier prévisionnel, Grille d'évaluation critériée avec jalons, Supports de présentation

• Appliquer
• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Compétences relationnelles
• Prise de décision

Enseigner ce sujet

Commencez par des problèmes simples pour habituer les élèves à l'idée qu'il n'y a pas toujours une seule solution. Évitez de donner des indices trop tôt, laissez-les explorer même s'ils tournent en rond. Utilisez les erreurs comme des tremplins en les explicitant lors des retours collectifs. Les recherches montrent que cette approche développe la persévérance et la créativité mathématique.

À quoi s’attendre

Un apprentissage réussi se mesure à la capacité des élèves à formuler des hypothèses, à les tester et à partager leurs démarches sans crainte de l'erreur. L'objectif est de voir émerger des raisonnements variés et une confiance dans l'exploration.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During Rallye mathématique, certains élèves pensent qu'un problème sans solution unique est un mauvais problème.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Profitez de la mise en commun pour souligner explicitement la diversité des stratégies proposées sur un même problème, en comparant les approches et en valorisant celles qui diffèrent de la solution attendue en exercice classique.

Idée reçue courante

During Think-Pair-Share, les élèves considèrent que l'essai-erreur est une perte de temps et cachent leurs erreurs.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Lors de la phase de partage, demandez aux binômes de présenter aussi bien leurs essais infructueux que leurs solutions, en insistant sur ce qu'ils ont appris de chaque échec.

Idée reçue courante

During Débat mathématique, plusieurs élèves attendent de trouver LA bonne méthode avant de commencer à chercher.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Relancez le débat en demandant 'Et si on essayait quelque chose maintenant, même si ce n'est pas parfait ?' pour montrer que les stratégies se construisent en cours de route.

Idées d'évaluation

Billet de sortie

After Rallye mathématique, distribuez une feuille avec un problème ouvert simple et demandez aux élèves d'écrire une solution et d'expliquer brièvement la méthode utilisée pour la trouver.

Question de discussion

During Think-Pair-Share, lancez une discussion collective : 'Quelles sont les premières idées ? Comment pourrait-on organiser notre recherche pour être sûrs de ne rien oublier ?' Notez les stratégies émergentes au tableau.

Évaluation par les pairs

After Débat mathématique, organisez un échange d'affiches entre groupes. Chaque groupe doit identifier au moins une autre stratégie possible ou une question à poser sur la démarche de l'autre groupe.

Extensions et étayage

• Après le Rallye mathématique, proposez aux élèves rapides de concevoir un problème ouvert similaire pour la classe.
• Pendant le Think-Pair-Share, fournissez un tableau de suivi visuel où les élèves notent leurs essais et leurs résultats pour mieux organiser leur recherche.
• Après le Débat mathématique, demandez aux élèves d'écrire un paragraphe expliquant ce qu'ils ont appris sur la diversité des solutions possibles.

Vocabulaire clé

Problème ouvert	Un problème mathématique qui n'a pas une seule solution correcte ou une seule méthode de résolution. Il encourage l'exploration et la recherche.
Essai-erreur	Une méthode de résolution qui consiste à tester différentes approches ou valeurs jusqu'à trouver une solution satisfaisante. C'est une étape normale de la recherche mathématique.
Stratégie de recherche	Une approche ou une technique spécifique utilisée par un élève pour aborder et résoudre un problème, particulièrement utile face à des problèmes ouverts.
Modélisation	La création d'une représentation simplifiée d'une situation réelle ou abstraite pour mieux la comprendre et la résoudre mathématiquement.