Talsystemet och de fyra räknesätten · Hösttermin

Samband mellan räknesätten

Undersökning av hur multiplikation och division är varandras motsatser och hur de kan användas för att kontrollera svar.

Om detta ämne

Att förstå sambandet mellan de fyra räknesätten är en av de viktigaste pusselbitarna i mellanstadiets matematik. I årskurs 5 fokuserar vi särskilt på hur multiplikation och division hänger ihop som inversa operationer. Eleverna ska lära sig att om de vet att 6 x 7 = 42, så vet de också automatiskt vad 42 / 6 är. Detta underlättar inte bara beräkningar utan är också en grundbult i algebraiskt tänkande.

Enligt kursplanen ska eleverna kunna välja lämpligt räknesätt i olika situationer och kontrollera sina svar genom att räkna 'baklänges'. Vi utforskar också hur division kan ses som upprepad subtraktion och multiplikation som upprepad addition. Detta ämne blir som mest begripligt när eleverna får arbeta laborativt med mönster och se hur talen interagerar i 'talfamiljer'.

Lärandemål

• Förklara sambandet mellan multiplikation och division som inversa operationer med hjälp av talfamiljer.
• Beräkna okända faktorer eller kvoter genom att använda multiplikationstabellen och divisionens omvända relation.
• Analysera hur en förändring av täljare och nämnare påverkar kvoten i en division.
• Demonstrera hur division kan representeras som upprepad subtraktion med konkreta exempel.
• Jämföra och kontrastera multiplikation som upprepad addition med division som upprepad subtraktion.

Innan du börjar

Grundläggande multiplikation och division

Varför: Eleverna behöver ha en grundläggande förståelse för vad multiplikation och division innebär och kunna utföra enklare beräkningar.

Addition och subtraktion

Varför: Förståelse för addition och subtraktion är en förutsättning för att kunna greppa sambandet mellan alla fyra räknesätten.

Nyckelbegrepp

Talfamilj	En grupp av tal som är relaterade till varandra genom addition/subtraktion eller multiplikation/division. Till exempel hör 3, 4, 12 ihop i talfamiljen 3x4=12, 4x3=12, 12/3=4, 12/4=3.
Inversa operationer	Räknesätt som 'tar ut varandra'. Multiplikation är den inversa operationen till division, och addition är den inversa operationen till subtraktion.
Kvot	Svaret man får när man utför en division. Till exempel är 4 kvoten i 12 / 3.
Faktor	De tal som multipliceras med varandra för att få en produkt. I 6 x 7 = 42 är 6 och 7 faktorerna.

Idéer för aktivt lärande

Utforskande cirkel: Talfamiljer

Grupper får tre tal, till exempel 3, 8 och 24. De ska tillsammans hitta alla möjliga samband med multiplikation och division och skapa en visuell affisch som visar hur talen hör ihop.

⏱ 25 min·Smågrupper

Generera uppdrag

Rollspel: Affären

Eleverna agerar kunder och kassörer. De ska lösa problem som: 'Om 4 äpplen kostar 20 kr, vad kostar ett?' och sedan bevisa svaret genom att visa att 5 kr x 4 = 20 kr.

⏱ 30 min·Par

Generera uppdrag

EPA (Enskilt-Par-Alla): Sant eller falskt?

Läraren ger påståenden som 'Om jag dubblerar täljaren i en division blir svaret dubbelt så stort'. Eleverna diskuterar i par och testar med olika tal för att bevisa om det stämmer.

⏱ 20 min·Par

Generera uppdrag

Kopplingar till Verkligheten

Vid planering av inköp för ett storkök behöver man räkna ut hur många paket mjöl som går åt om varje gäst ska få 0,2 liter mjölk och det finns 150 gäster. Detta kräver förståelse för hur division och multiplikation används för att fördela och beräkna mängder.

En snickare som ska bygga ett staket behöver 72 brädor och vet att varje sektion kräver 3 brädor. Genom att använda division (72 / 3) kan snickaren snabbt räkna ut att det behövs 24 sektioner. Detta visar hur division hjälper till att bestämma antal enheter.

Vid programmering av spel kan sambandet mellan räknesätten användas för att beräkna poäng. Om en spelare samlar 5 mynt och varje mynt är värt 10 poäng, kan multiplikation (5 x 10) användas. Om spelaren sedan har 100 poäng och vet att varje mynt är värt 10 poäng, kan division (100 / 10) användas för att räkna ut hur många mynt som samlats.

Se upp för dessa missuppfattningar

Vanlig missuppfattning

Multiplikation gör alltid tal större och division gör dem alltid mindre.

Vad man ska lära ut istället

Detta stämmer för heltal större än 1, men i årskurs 5 börjar vi nosa på decimaltal. Genom att experimentera med tal mellan 0 och 1 kan eleverna upptäcka att sambandet är mer komplext.

Vanlig missuppfattning

Division och multiplikation är helt separata saker som kräver olika tabeller.

Vad man ska lära ut istället

Många elever lär sig multiplikationstabellen utantill men ser inte att den är en 'divisionstabell' också. Genom att använda tabellrutor kan man visa hur man läser dem åt båda hållen.

Bedömningsidéer

Snabbkontroll

Ge eleverna ett kort med en multiplikationsuppgift, t.ex. 8 x 6 = 48. Be dem sedan skriva ner tre andra räknesätt som hör till samma talfamilj och förklara hur de hänger ihop.

Diskussionsfråga

Ställ frågan: 'Hur kan du använda multiplikationstabellen för att lösa 72 / 9?'. Låt eleverna diskutera i par och sedan dela sina strategier med klassen, med fokus på hur de 'tänker baklänges'.

Utgångsbiljett

Skriv uppgiften: 'Anna har 20 kulor och vill dela dem lika mellan 4 vänner. Hur många kulor får varje vän?'. Be eleverna lösa uppgiften med en divisionsberäkning och sedan visa samma sak med hjälp av upprepad subtraktion.

Vanliga frågor

Varför ska eleverna kontrollera sina svar med det motsatta räknesättet?

Det bygger en vana av rimlighetsbedömning och självständighet. Om en elev kan kontrollera en division med multiplikation blir de mindre beroende av att läraren säger vad som är rätt eller fel.

Hur förklarar jag division som upprepad subtraktion?

Använd konkret material. Om du har 12 pennor och ska ge 3 till varje kompis, hur många gånger kan du ta bort 3? Varje gång du tar bort 3 är ett steg i divisionen 12 / 3.

Vad är det viktigaste sambandet att förstå i årskurs 5?

Det är förståelsen för den inversa relationen mellan multiplikation och division, samt hur addition och multiplikation hänger ihop vid beräkning av t.ex. areor eller större mängder.

Hur kan aktiva metoder stärka förståelsen för samband mellan räknesätt?

Genom kollaborativa undersökningar där eleverna får 'bygga' talfamiljer eller simulera vardagliga händelser, ser de sambanden i praktiken. När de tvingas förklara för en kamrat hur de använde multiplikation för att lösa en division, flyttas kunskapen från ett ytligt minne till en djupare logisk förståelse.