Théorème de la bijection et fonctions réciproques

Les élèves découvrent souvent le théorème de la bijection comme un outil abstrait alors qu’il offre une porte d’entrée concrète à la résolution d’équations et à la compréhension des fonctions réciproques. Travailler graphiquement et collaborativement permet de transformer une notion théorique en un savoir actif, visible et manipulable.

• Terminale
• Mathématiques : Vers l\\
• 4 activités
• 20 min–30 min

Objectifs d’apprentissage

1. Démontrer les conditions nécessaires à l'existence d'une bijection à partir de la définition et du théorème de la valeur intermédiaire.
2. Calculer l'expression de la fonction réciproque pour des fonctions définies sur des intervalles précis.
3. Comparer graphiquement la fonction f et sa réciproque f^(-1) en utilisant la symétrie par rapport à la droite d'équation y = x.
4. Analyser la dérivabilité de la fonction réciproque en un point donné en utilisant la formule de dérivation de la réciproque.
5. Identifier les domaines de définition et d'image de f et f^(-1) pour des fonctions usuelles comme exp, ln, cos, sin.

Penser-Partager-Présenter

⏱ 25 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: De f à f inverse graphiquement

Chaque élève trace la courbe d'une fonction strictement monotone, puis construit sa réciproque par symétrie par rapport à y = x. En binôme, ils vérifient mutuellement que les domaines et images sont cohérents.

Préparation et détails

Pourquoi la stricte monotonie est-elle essentielle pour l'existence d'une réciproque?

Conseil de facilitation: Pendant le débat 'La réciproque existe-t-elle ?', notez au tableau les arguments des deux camps et utilisez-les comme base pour une synthèse collective à la fin.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Cercle de recherche

⏱ 25 min·Petits groupes

Cercle de recherche: Pourquoi la monotonie stricte ?

Les groupes reçoivent des fonctions continues mais non strictement monotones et tentent de construire leur réciproque. Ils constatent l'impossibilité (un y correspond à plusieurs x) et formulent eux-mêmes la condition nécessaire.

Préparation et détails

Comment se déduit la courbe de f-1 de celle de f?

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Galerie marchande

⏱ 30 min·Petits groupes

Galerie marchande: Les réciproques usuelles

Chaque poster présente une fonction usuelle (exp, sin restreinte, carré restreinte) avec son graphe. Les élèves ajoutent la courbe de la réciproque, précisent le domaine de restriction et les propriétés (continuité, dérivabilité, monotonie).

Préparation et détails

Quels sont les domaines de validité des fonctions réciproques usuelles?

Setup: Espace mural dégagé ou tables disposées en périphérie de la salle

Materials: Papier grand format ou panneaux d'affichage, Feutres et marqueurs, Post-it pour les retours critiques

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Créer
• Compétences relationnelles
• Conscience sociale

Débat formel

⏱ 20 min·Classe entière

Débat formel: La réciproque existe-t-elle ?

Proposez des fonctions et demandez aux élèves de se positionner : réciproque possible ou impossible ? Chaque camp argumente avec les critères du théorème de la bijection. Le facilitateur guide vers les conditions précises.

Préparation et détails

Pourquoi la stricte monotonie est-elle essentielle pour l'existence d'une réciproque?

Setup: Deux équipes face à face, le reste de la classe en position d'auditoire

Materials: Fiche de sujet de débat, Dossier documentaire pour chaque camp, Grille d'évaluation pour le public, Chronomètre

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Prise de décision

Enseigner ce sujet

Commencez par des exemples simples comme f(x) = 2x + 3 pour ancrer la méthode de calcul de la réciproque avant d’aborder les cas plus complexes. Évitez de présenter trop tôt les fonctions trigonométriques réciproques : attendez que les élèves maîtrisent la symétrie et la monotonie. La recherche montre que les élèves retiennent mieux quand ils construisent eux-mêmes les liens entre continuité, monotonie et existence de la réciproque.

À quoi s’attendre

À la fin de ces activités, les élèves distinguent clairement l’existence d’une réciproque de sa construction, justifient la nécessité d’une stricte monotonie sur un intervalle, et appliquent correctement la symétrie par rapport à y = x pour tracer une réciproque. Leur langage montre une précision accrue entre fonction réciproque et inverse multiplicatif.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

During l'activité 'De f à f inverse graphiquement', watch for des élèves qui placent la symétrie par rapport à l’axe des x au lieu de y = x.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Demandez-leur de plier leur feuille quadrillée le long de la droite y = x pour visualiser la superposition des deux courbes et corriger immédiatement leur tracé.

Idée reçue courante

During l'activité 'Collaborative Investigation : Pourquoi la monotonie stricte ?', watch for l’idée que toute fonction continue a une réciproque.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Fournissez des exemples de fonctions continues mais non injectives (comme sin(x) sur R) et demandez aux groupes de proposer un intervalle où la fonction devient bijective.

Idée reçue courante

During le 'Gallery Walk : Les réciproques usuelles', watch for la confusion entre arcsin(x) et 1/sin(x).

Ce qu'il faut enseigner à la place

Placez à côté des affiches un tableau comparatif avec des valeurs numériques pour montrer que arcsin(0.5) ≠ 1/sin(0.5) et faites calculer les deux expressions en binôme.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

After l'activité 'De f à f inverse graphiquement', présentez le graphique de f(x) = √(x+1) sur [-1, +∞[ et demandez aux élèves d’esquisser f^(-1) en justifiant par la symétrie par rapport à y = x.

Question de discussion

During l'activité 'Debate : La réciproque existe-t-elle ?', posez la question : 'La fonction f(x) = x² sur R admet-elle une réciproque ?' et utilisez les arguments des élèves pour synthétiser la notion d’injectivité et de restriction de domaine.

Billet de sortie

After l'activité 'Collaborative Investigation', donnez la fonction f(x) = 3 - x sur [0, 3] et demandez aux élèves de calculer f^(-1)(x), de préciser son ensemble de définition et d’arrivée, et de tracer rapidement la courbe.

Extensions et étayage

• Proposez aux élèves rapides de déterminer la réciproque de f(x) = e^(x²) sur [0, +∞[ et d’étudier sa dérivée, en lien avec la dérivée de la fonction composée.
• Pour les élèves en difficulté, donnez des fonctions affines simples sur des intervalles restreints (ex : f(x) = 0.5x - 1 sur [-2, 4]) et guidez-les pas à pas dans la construction de la réciproque.
• Invitez les élèves à explorer la réciproque de fonctions polynômiales de degré impair (ex : f(x) = x³) et à comparer avec les fonctions de degré pair.

Vocabulaire clé

Bijection	Une fonction est une bijection d'un ensemble A vers un ensemble B si elle est injective et surjective. Chaque élément de B a exactement un antécédent dans A.
Fonction réciproque	Pour une fonction f réalisant une bijection de I sur J, la fonction réciproque f^(-1) est la fonction de J vers I qui associe à tout y de J l'unique x de I tel que f(x) = y.
Stricte monotonie	Une fonction est strictement monotone si elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur son intervalle de définition.
Image directe et réciproque	L'image directe d'un intervalle I par f est l'ensemble des valeurs f(x) pour x dans I. L'image réciproque d'un intervalle J par f^(-1) est l'ensemble des valeurs f^(-1)(y) pour y dans J.