Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)

La composition de fonctions et le TVI demandent aux élèves de visualiser des processus enchaînés et de comprendre comment une rupture de continuité perturbe l'application du théorème. Les activités proposées transforment ces concepts abstraits en expériences concrètes, où chaque élève manipule physiquement ou mentalement les étapes de la composition.

• Terminale
• Mathématiques : Vers l\\
• 3 activités
• 20 min–35 min

Objectifs d’apprentissage

1. Analyser la définition d'une fonction continue sur un intervalle donné.
2. Démontrer l'existence d'une racine d'une équation à l'aide du Théorème des Valeurs Intermédiaires.
3. Expliquer pourquoi la continuité est une condition nécessaire pour appliquer le TVI.
4. Identifier les intervalles sur lesquels une fonction donnée est continue.
5. Calculer une valeur approchée d'une racine à l'aide d'une méthode itérative inspirée du TVI.

Jeu de rôle

⏱ 25 min·Petits groupes

Jeu de rôle: La machine à fonctions

Un élève joue le rôle de f(x), un autre celui de g(x). Un troisième donne un nombre. f calcule son image, la transmet à g qui donne le résultat final. On inverse ensuite l'ordre pour montrer que f o g n'est pas g o f.

Préparation et détails

Quelle est la distinction fondamentale entre une fonction définie et une fonction continue?

Conseil de facilitation: Pendant 'La machine à fonctions', circulez entre les groupes pour écouter leur langage et remplacer immédiatement les termes de multiplication ('fois') par des formulations de composition ('après', 'puis').

Setup: Espace ouvert ou bureaux réorganisés pour la mise en scène

Materials: Fiches de personnage (contexte et objectifs), Fiche de mise en situation (scénario)

• Appliquer
• Analyser
• Évaluer
• Conscience sociale
• Conscience de soi

Cercle de recherche

⏱ 35 min·Petits groupes

Cercle de recherche: Le détective des domaines

En groupes, les élèves doivent trouver le domaine de définition de fonctions composées 'pièges' (ex: racine de ln(x)). Ils doivent lister les contraintes de chaque fonction pour définir l'intervalle final.

Préparation et détails

Comment le TVI permet-il de prouver l'existence d'une solution sans savoir la calculer?

Conseil de facilitation: Lors de 'Le détective des domaines', insistez sur la verbalisation : chaque élève doit justifier oralement à son binôme pourquoi le domaine de f o g est plus restrictif que celui de f.

Setup: Groupes en îlots avec accès aux ressources documentaires

Materials: Corpus de documents sources, Fiche de suivi du cycle de recherche, Protocole de formulation de questions, Canevas de présentation des résultats

• Analyser
• Évaluer
• Créer
• Autogestion
• Conscience de soi

Penser-Partager-Présenter

⏱ 20 min·Binômes

Penser-Partager-Présenter: Décomposition en série

Donnez une fonction complexe. Les élèves doivent l'écrire comme une succession de fonctions simples. Ils comparent leurs décompositions en paires pour vérifier si l'ordre respecte les priorités de calcul.

Préparation et détails

Pourquoi la continuité est-elle une condition nécessaire pour de nombreux modèles physiques?

Conseil de facilitation: Pour 'Décomposition en série', distribuez des cartes avec des fonctions écrites séparément, et faites-les classer par ordre de composition avant de les assembler physiquement.

Setup: Disposition de classe standard ; les élèves se tournent vers leur voisin

Materials: Consigne de discussion (projetée ou distribuée), Optionnel : fiche de prise de notes pour les binômes

• Comprendre
• Appliquer
• Analyser
• Conscience de soi
• Compétences relationnelles

Enseigner ce sujet

Commencez par des exemples numériques simples pour ancrer la notion de composition comme une chaîne de transformations. Évitez les fonctions trop complexes en début de séquence. Insistez sur le vocabulaire : « l'image de x par f devient la variable de g » plutôt que « f(x) fois g(x) ». Utilisez des analogies visuelles répétées, comme des boîtes à entrées/sorties ou des machines à engrenages, pour renforcer la permanence de la composition.

À quoi s’attendre

Les élèves distinguent clairement la composition de la multiplication et identifient correctement les domaines de définition et les discontinuités. Ils expliquent avec rigueur pourquoi la continuité est indispensable pour appliquer le TVI et savent l'appliquer à des fonctions simples.

Attention à ces idées reçues

Idée reçue courante

Pendant La machine à fonctions, surveillez les élèves qui confondent g o f avec f * g et utilisent un langage de multiplication comme « f de x multiplié par g de x ».

Ce qu'il faut enseigner à la place

Interrompez immédiatement en demandant à l'élève de dessiner deux boîtes en série : la première étiquette 'f', la seconde 'g', et de montrer que la sortie de f devient l'entrée de g, jamais une multiplication.

Idée reçue courante

Pendant Le détective des domaines, surveillez les élèves qui supposent que le domaine de g o f est l'intersection des domaines de f et de g.

Ce qu'il faut enseigner à la place

Utilisez l'activité pour montrer que le domaine de g o f est l'ensemble des x dans le domaine de f tels que f(x) est dans le domaine de g, en traçant des diagrammes avec des flèches et des couleurs pour matérialiser cette restriction.

Idées d'évaluation

Vérification rapide

Après La machine à fonctions, présentez aux élèves la fonction g o f avec f(x) = √x et g(x) = 1/(x-1). Demandez-leur d'identifier le domaine de g o f et d'expliquer leur raisonnement en utilisant les boîtes dessinées pendant l'activité.

Question de discussion

Pendant Décomposition en série, posez la question : « Pourquoi le TVI ne s'applique-t-il pas si f n'est pas continue sur [a, b] ? » et demandez aux élèves d'illustrer leur réponse avec un croquis au tableau.

Billet de sortie

Après Le détective des domaines, distribuez une carte où les élèves doivent écrire le domaine de g o f pour f(x) = ln(x) et g(x) = x², puis citer un exemple de fonction continue qu'ils ont rencontrée récemment.

Extensions et étayage

• Défi : Proposez aux groupes de créer une fonction composée à deux étages dont le domaine de définition change radicalement selon l'ordre de composition.
• Étayage : Pour les élèves en difficulté, fournissez des fonctions f et g déjà définies sur des intervalles clairs, et demandez-leur simplement de tracer f(g(x)) point par point.
• Exploration plus approfondie : Invitez les élèves à explorer des cas où f est continue mais pas g, ou inversement, et à discuter de la continuité de la composée.

Vocabulaire clé

Continuité sur un intervalle	Une fonction f est continue sur un intervalle [a, b] si elle est continue en tout point de cet intervalle. Graphiquement, cela signifie que l'on peut tracer la courbe sans lever le crayon.
Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI)	Si une fonction f est continue sur un intervalle fermé [a, b], alors pour tout nombre k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un nombre c dans [a, b] tel que f(c) = k.
Racine d'une équation	Une valeur x pour laquelle une fonction f(x) est égale à zéro. Dans le contexte du TVI, on cherche souvent une valeur c telle que f(c) = 0.
Intervalle ouvert/fermé	Un intervalle fermé [a, b] inclut ses bornes a et b. Un intervalle ouvert (a, b) exclut ses bornes. Le TVI s'applique sur un intervalle fermé.