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Klasse 11 Analysis und Analytische Geometrie: Grundlagen der Oberstufe
Dieser Kurs führt in die Konzepte der Differentialrechnung und der vektoriellen Geometrie ein. Der Fokus liegt auf der Modellierung realer Prozesse und der Entwicklung eines tiefen Verständnisses für funktionale Zusammenhänge und räumliche Strukturen.
01Von der Sekante zur Tangente: Die Ableitung
Einführung in die Differentialrechnung durch die Untersuchung von Änderungsraten und Tangentensteigungen.
Die Schülerinnen und Schüler berechnen die mittlere Änderungsrate in verschiedenen Kontexten und interpretieren diese geometrisch als Sekantensteigung.
Die Schülerinnen und Schüler nähern die lokale Änderungsrate durch immer kleinere Intervalle an und verstehen den Grenzwertprozess als Übergang zur Tangentensteigung.
Die Schülerinnen und Schüler konstruieren die Ableitungsfunktion aus den Steigungen der Tangenten und interpretieren deren Graphen im Kontext der Originalfunktion.
Die Schülerinnen und Schüler leiten Funktionen mithilfe der Potenzregel, Faktorregel und Summenregel ab und wenden diese auf ganzrationale Funktionen an.
Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Extrempunkte von Funktionen und untersuchen deren Monotonieverhalten mithilfe der ersten Ableitung.
Die Schülerinnen und Schüler identifizieren Wendepunkte und interpretieren das Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen mithilfe der zweiten Ableitung.
Die Schülerinnen und Schüler führen eine vollständige Kurvenuntersuchung ganzrationaler Funktionen durch, inklusive Nullstellen, Extrem- und Wendepunkten.
02Vektoren und Koordinatensysteme im Raum
Erweiterung des mathematischen Horizonts auf den dreidimensionalen Raum und Einführung der Vektorrechnung.
Die Schülerinnen und Schüler definieren Vektoren als gerichtete Größen und unterscheiden sie von Punkten im Raum, indem sie ihre Komponenten im Koordinatensystem darstellen.
Die Schülerinnen und Schüler führen Vektoraddition und -subtraktion grafisch und rechnerisch durch und interpretieren die Ergebnisse.
Die Schülerinnen und Schüler multiplizieren Vektoren mit Skalaren und untersuchen die Auswirkungen auf Richtung und Länge des Vektors.
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen die Erzeugbarkeit von Vektoren durch Linearkombinationen und bestimmen die lineare Unabhängigkeit von Vektoren.
Die Schülerinnen und Schüler berechnen das Skalarprodukt zweier Vektoren und nutzen es zur Überprüfung der Orthogonalität.
Die Schülerinnen und Schüler wenden das Skalarprodukt an, um Winkel zwischen Vektoren zu berechnen und geometrische Probleme zu lösen.
Die Schülerinnen und Schüler berechnen das Vektorprodukt zweier Vektoren und nutzen es zur Bestimmung von Flächeninhalten von Parallelogrammen und Dreiecken im Raum.
03Geraden und Ebenen im Raum
Beschreibung von Objekten im Raum durch Parametergleichungen und Untersuchung ihrer Lagebeziehungen.
Die Schülerinnen und Schüler stellen Geradengleichungen in Parameterform auf und führen Punktproben durch.
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen, ob Geraden identisch, parallel, schneidend oder windschief sind, und bestimmen ggf. Schnittpunkte.
Die Schülerinnen und Schüler stellen Ebenengleichungen in Parameterform auf und führen Punktproben durch.
Die Schülerinnen und Schüler leiten die Normalenform einer Ebene her und nutzen sie für Punktproben und Abstandsbestimmungen.
Die Schülerinnen und Schüler wandeln Ebenengleichungen zwischen Parameter-, Normalen- und Koordinatenform um und nutzen die Koordinatenform für schnelle Punktproben.
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen, ob Ebenen identisch, parallel oder schneidend sind, und bestimmen ggf. die Schnittgerade.
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen, ob eine Gerade eine Ebene schneidet, parallel zu ihr verläuft oder in ihr liegt.
Die Schülerinnen und Schüler berechnen Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum.
04Funktionenvielfalt und Transformationen
Vertiefung des Funktionsbegriffs durch Untersuchung von Transformationen und speziellen Funktionstypen.
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen die Auswirkungen von additiven Konstanten auf die Funktionsgleichung und den Graphen (Verschiebung entlang der Achsen).
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen die Auswirkungen von multiplikativen Konstanten auf die Funktionsgleichung und den Graphen (Streckung/Stauchung).
Die Schülerinnen und Schüler spiegeln Funktionsgraphen an den Koordinatenachsen und am Ursprung und passen die Funktionsgleichung entsprechend an.
Die Schülerinnen und Schüler erkennen und beweisen Achsen- und Punktsymmetrie von Funktionsgraphen anhand des Funktionsterms.
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen das Verhalten von Funktionen für sehr große positive und negative x-Werte und interpretieren dies.
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Funktionen, die aus verschiedenen Teilfunktionen bestehen, und prüfen deren Stetigkeit an den Nahtstellen.
Die Schülerinnen und Schüler prüfen die Differenzierbarkeit von abschnittsweise definierten Funktionen an den Nahtstellen.
05Stochastik: Wahrscheinlichkeit und Zufall
Modellierung von Zufallsexperimenten und Einführung in die kombinatorische Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Die Schülerinnen und Schüler wiederholen grundlegende Begriffe wie Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis und relative Häufigkeit.
Die Schülerinnen und Schüler nutzen Baumdiagramme zur Darstellung mehrstufiger Zufallsexperimente und wenden die Pfadregeln an.
Die Schülerinnen und Schüler erstellen Vierfeldertafeln und berechnen bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Die Schülerinnen und Schüler wenden den Satz von Bayes an, um Wahrscheinlichkeiten 'rückwärts' zu berechnen.
Die Schülerinnen und Schüler definieren und prüfen die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen.
Die Schülerinnen und Schüler definieren Zufallsgrößen und erstellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Die Schülerinnen und Schüler berechnen den Erwartungswert einer Zufallsgröße und interpretieren ihn im Kontext.
Die Schülerinnen und Schüler berechnen Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße als Maß für die Streuung.
Die Schülerinnen und Schüler identifizieren Bernoulli-Experimente und berechnen Wahrscheinlichkeiten mit der Binomialverteilung.
06Exponentialfunktionen und Wachstum
Untersuchung von Wachstums- und Zerfallsprozessen sowie deren Ableitungen.
Die Schülerinnen und Schüler analysieren Funktionen der Form f(x) = a * b^x und unterscheiden exponentielles von linearem Wachstum.
Die Schülerinnen und Schüler lernen die natürliche Exponentialfunktion und die Eulersche Zahl e kennen und verstehen ihre besondere Rolle.
Die Schülerinnen und Schüler leiten Exponentialfunktionen ab und wenden die Kettenregel auf verkettete Exponentialfunktionen an.
Die Schülerinnen und Schüler wenden Exponentialfunktionen zur Modellierung realer Wachstumsprozesse (z.B. Zinseszins, Bakterienwachstum) an.
Die Schülerinnen und Schüler nutzen Exponentialfunktionen zur Modellierung von Zerfallsprozessen (z.B. radioaktiver Zerfall, Abkühlung).
Die Schülerinnen und Schüler lernen Logarithmusfunktionen als Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen kennen und wenden Logarithmusgesetze an.
Die Schülerinnen und Schüler lösen exponentielle Gleichungen mithilfe von Logarithmen und wenden diese in realen Kontexten an.
07Integralrechnung: Flächen und Stammfunktionen
Einführung in die Integralrechnung als Umkehrung der Differentialrechnung und zur Berechnung von Flächeninhalten.
Die Schülerinnen und Schüler nähern Flächen unter Kurven durch Rechtecksummen an und verstehen den Grenzwertprozess.
Die Schülerinnen und Schüler lernen Stammfunktionen als Umkehrung der Ableitung kennen und bestimmen einfache Stammfunktionen.
Die Schülerinnen und Schüler wenden die Potenzregel, Faktorregel und Summenregel für die Integration an.
Die Schülerinnen und Schüler berechnen bestimmte Integrale mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.
Die Schülerinnen und Schüler berechnen Flächeninhalte, die von mehreren Funktionsgraphen eingeschlossen werden.
Die Schülerinnen und Schüler wenden die Integralrechnung zur Berechnung von Bestandsänderungen, Volumina oder Arbeitsleistungen an.
Die Schülerinnen und Schüler berechnen Volumina von Rotationskörpern, die durch die Rotation von Funktionsgraphen um eine Achse entstehen.
08Weitere Funktionstypen und ihre Ableitungen
Erweiterung des Repertoires an Funktionen und deren Differentialrechnung.
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen Wurzelfunktionen und leiten diese mithilfe der Potenzregel ab.
Die Schülerinnen und Schüler identifizieren Polstellen und Asymptoten von gebrochenrationalen Funktionen.
Die Schülerinnen und Schüler leiten gebrochenrationale Funktionen mithilfe der Quotientenregel ab.
Die Schülerinnen und Schüler führen Kurvenuntersuchungen für gebrochenrationale Funktionen durch.
Die Schülerinnen und Schüler wiederholen die Eigenschaften von Sinus- und Kosinusfunktionen und deren Graphen.
Die Schülerinnen und Schüler leiten Sinus- und Kosinusfunktionen ab und wenden die Kettenregel an.
Die Schülerinnen und Schüler modellieren periodische Prozesse (z.B. Schwingungen, Gezeiten) mithilfe trigonometrischer Funktionen.