Matemáticas · 7o Grado · Geometría de las Formas y el Espacio · Periodo 3

Teselaciones y Patrones Geométricos

Los estudiantes exploran las teselaciones regulares e irregulares, identificando las propiedades de las figuras que permiten cubrir un plano sin huecos ni superposiciones.

• Derechos Básicos de Aprendizaje (DBA)
• DBA Matemáticas: Grado 7 - Pensamiento Espacial y Geométrico

Acerca de este tema

Las teselaciones son patrones geométricos que cubren un plano sin huecos ni superposiciones, usando figuras que encajan perfectamente. En 7° grado, los estudiantes exploran teselaciones regulares con triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares, e irregulares mediante transformaciones como rotaciones y traslaciones. Identifican propiedades esenciales, como la suma de ángulos en un vértice que debe ser 360 grados, según los Derechos Básicos de Aprendizaje en Pensamiento Espacial y Geométrico del MEN.

Este tema conecta la geometría con el arte y la arquitectura, analizando ejemplos del arte islámico o mosaicos colombianos. Los estudiantes responden preguntas clave sobre características geométricas, presencia cultural de teselaciones y diseño propio con polígonos, fomentando creatividad y razonamiento espacial para unidades de Geometría de las Formas y el Espacio.

El aprendizaje activo beneficia este tema porque las actividades manipulativas, como recortar y armar polígonos, revelan propiedades abstractas de forma concreta. El trabajo colaborativo permite probar hipótesis en grupo, corregir errores en tiempo real y celebrar diseños exitosos, lo que aumenta la retención y el entusiasmo por la geometría.

Preguntas Clave

1. ¿Qué características geométricas permiten que una figura teselice un plano?
2. Analice la presencia de teselaciones en el arte islámico y la arquitectura.
3. Diseñe una teselación utilizando diferentes polígonos regulares.

Objetivos de Aprendizaje

• Identificar las propiedades geométricas de polígonos regulares que permiten la teselación de un plano.
• Analizar la aplicación de teselaciones regulares e irregulares en obras de arte islámico y arquitectura colombiana.
• Diseñar una teselación personal utilizando una combinación de polígonos regulares y transformaciones geométricas.
• Explicar la regla de la suma de ángulos en un vértice (360 grados) como condición necesaria para una teselación.

Antes de Empezar

Clasificación de Polígonos

Por qué: Los estudiantes necesitan identificar y nombrar polígonos básicos (triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos) para trabajar con ellos en teselaciones.

Medición de Ángulos

Por qué: Es fundamental que los estudiantes sepan medir ángulos con un transportador para verificar la suma de los ángulos en un vértice.

Vocabulario Clave

Teselación	Un patrón formado por figuras geométricas que cubren completamente una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse.
Vértice	El punto donde se encuentran dos o más lados de un polígono. En una teselación, varios vértices de diferentes figuras coinciden en un mismo punto.
Polígono Regular	Un polígono con todos sus lados y ángulos interiores iguales. Ejemplos son el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular.
Transformación Geométrica	Una operación que mueve, rota o refleja una figura geométrica. Las traslaciones y rotaciones son comunes en la creación de teselaciones.

Cuidado con estas ideas erróneas

Idea errónea común

Solo los cuadrados y triángulos forman teselaciones.

Qué enseñar en su lugar

Existen teselaciones con hexágonos y combinaciones irregulares. Actividades de manipulación física ayudan a los estudiantes a probar pentágonos y descubrir por qué fallan, ajustando sus ideas mediante ensayo y error colaborativo.

Idea errónea común

Cualquier figura tesela si se estira lo suficiente.

Qué enseñar en su lugar

Las propiedades angulares deben encajar exactamente en 360 grados. En grupos, al armar figuras reales, ven huecos o superposiciones, lo que corrige esta idea con evidencia tangible y discusión guiada.

Idea errónea común

Las rotaciones no cuentan como teselación verdadera.

Qué enseñar en su lugar

Las transformaciones como rotaciones crean teselaciones irregulares válidas. Diseños en parejas muestran cómo encajan, fomentando debates que aclaran el rol de simetrías en el aprendizaje activo.

Ideas de aprendizaje activo

Estaciones Rotativas: Teselaciones Regulares

Prepara cuatro estaciones con triángulos, cuadrados, pentágonos y hexágonos de papel. Los grupos rotan cada 10 minutos, intentan cubrir un plano y registran qué ángulos suman 360 grados. Discuten por qué algunos fallan.

45 min·Grupos pequeños

Diseño en Parejas: Teselación Irregular

Cada pareja transforma un cuadrado con rotaciones y traslaciones para crear una teselación única. Dibujan el patrón en papel milimetrado y lo prueban cubriendo una hoja. Comparten resultados con la clase.

30 min·Parejas

Análisis Grupal: Teselaciones en Arte

Proyecta imágenes de arte islámico y arquitectura local. En pequeños grupos, identifican polígonos y transformaciones usadas. Crean un póster explicando las propiedades geométricas observadas.

35 min·Grupos pequeños

Creación Individual: Mi Teselación

Cada estudiante diseña una teselación con al menos dos polígonos diferentes, la colorea y explica sus propiedades en una etiqueta. Exhiben en el salón para votación colectiva.

40 min·Individual

Conexiones con el Mundo Real

• Los arquitectos utilizan teselaciones para diseñar fachadas de edificios y patrones de baldosas, buscando tanto la estética como la eficiencia en el uso de materiales. Por ejemplo, el diseño de la Torre Colpatria en Bogotá presenta patrones que recuerdan a teselaciones.
• Los artistas islámicos han empleado extensamente las teselaciones en sus mosaicos y decoraciones, creando patrones complejos y visualmente atractivos que reflejan principios matemáticos y espirituales. Las mezquitas y palacios históricos en países como España (Alhambra) y Turquía son ejemplos notables.
• Los diseñadores de videojuegos y animadores gráficos usan principios de teselación para crear texturas y entornos repetitivos que se ven fluidos y continuos en pantallas de diferentes tamaños.

Ideas de Evaluación

Boleto de Salida

Entregue a cada estudiante una tarjeta con el nombre de un polígono regular (triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono). Pídales que calculen la medida de un ángulo interior y determinen si ese polígono puede teselar un plano por sí solo, justificando su respuesta.

Pregunta para Discusión

Muestre imágenes de arte islámico o mosaicos colombianos. Pregunte a los estudiantes: '¿Qué figuras geométricas observan en este patrón? ¿Cómo saben que estas figuras forman una teselación? ¿Qué propiedades geométricas les permiten encajar sin dejar espacios?'

Verificación Rápida

Proporcione a los estudiantes recortes de polígonos regulares. Pídales que intenten formar una teselación alrededor de un punto central. Observe si identifican que la suma de los ángulos en el vértice debe ser 360 grados y si pueden explicar por qué.

Preguntas frecuentes

¿Qué propiedades permiten que una figura teselice un plano?

Una figura tesela si sus ángulos en un vértice suman exactamente 360 grados y sus lados encajan sin huecos. Para polígonos regulares, solo triángulos equiláteros (60° x 6), cuadrados (90° x 4) y hexágonos (120° x 3) funcionan. En teselaciones irregulares, transformaciones como rotaciones aseguran el ajuste perfecto, clave en el DBA de Pensamiento Espacial.

¿Cómo el aprendizaje activo ayuda a entender teselaciones?

El aprendizaje activo hace concretas las reglas abstractas: recortar y armar polígonos revela por qué algunos encajan y otros no, mientras el trabajo en grupos fomenta hipótesis y correcciones colectivas. Esto construye intuición geométrica duradera, conecta con arte real y aumenta la motivación, alineado con enfoques pedagógicos del MEN.

¿Ejemplos de teselaciones en arte y arquitectura colombiana?

En Colombia, mosaicos en iglesias coloniales y patrones wayúu usan teselaciones con hexágonos y triángulos. El arte islámico, como la Alhambra, inspira con teselaciones irregulares. Analizar estas ayuda a estudiantes a ver matemáticas en su cultura, respondiendo preguntas clave del tema.

¿Cómo diseñar una teselación con polígonos regulares?

Elige polígonos cuyos ángulos sumen 360°: seis triángulos, cuatro cuadrados o tres hexágonos. Dibuja uno, rota o refleja copias para cubrir el plano. Prueba con papel, ajusta errores y colorea para arte. Esta práctica desarrolla precisión y creatividad geométrica.